Bài 5. Đạo hàm cấp cao
Đạo hàm cấp cao là một khái niệm quan trọng trong giải tích, cho phép chúng ta nghiên cứu sự thay đổi của tốc độ thay đổi của một hàm số. Nói cách khác, đạo hàm cấp hai cho biết tốc độ thay đổi của đạo hàm bậc nhất, đạo hàm cấp ba cho biết tốc độ thay đổi của đạo hàm cấp hai, và cứ tiếp tục như vậy.
1. Định nghĩa đạo hàm cấp cao
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp nhất f'(x). Nếu f'(x) cũng có đạo hàm, ta gọi đạo hàm của f'(x) là đạo hàm cấp hai của f(x), ký hiệu là f''(x). Tổng quát, đạo hàm cấp n của f(x), ký hiệu là f(n)(x), là đạo hàm của đạo hàm cấp n-1 của f(x).
2. Ký hiệu
- Đạo hàm cấp nhất: f'(x), y'
- Đạo hàm cấp hai: f''(x), y''
- Đạo hàm cấp ba: f'''(x), y'''
- Đạo hàm cấp n: f(n)(x), y(n)
3. Cách tính đạo hàm cấp cao
Để tính đạo hàm cấp cao, ta thực hiện tính đạo hàm liên tiếp. Ví dụ, để tính đạo hàm cấp hai của hàm số f(x), ta tính đạo hàm cấp nhất f'(x), sau đó tính đạo hàm của f'(x) để được f''(x).
Ví dụ 1: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số f(x) = x3 + 2x2 - 5x + 1
- Tính đạo hàm cấp nhất: f'(x) = 3x2 + 4x - 5
- Tính đạo hàm cấp hai: f''(x) = 6x + 4
Ví dụ 2: Tính đạo hàm cấp ba của hàm số f(x) = sin(x)
- Tính đạo hàm cấp nhất: f'(x) = cos(x)
- Tính đạo hàm cấp hai: f''(x) = -sin(x)
- Tính đạo hàm cấp ba: f'''(x) = -cos(x)
4. Ứng dụng của đạo hàm cấp cao
Đạo hàm cấp cao có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau, bao gồm:
- Phân tích hàm số: Đạo hàm cấp hai giúp xác định tính lồi, lõm của hàm số và tìm điểm uốn.
- Vật lý: Đạo hàm cấp hai của vị trí theo thời gian là gia tốc.
- Kinh tế: Đạo hàm cấp hai của hàm chi phí biên có thể được sử dụng để phân tích hiệu quả sản xuất.
5. Bài tập thực hành
Hãy thực hành tính đạo hàm cấp cao của các hàm số sau:
- f(x) = x4 - 3x2 + 7
- f(x) = ex + ln(x)
- f(x) = cos(2x)
Lưu ý: Việc nắm vững các quy tắc tính đạo hàm cơ bản là rất quan trọng để tính đạo hàm cấp cao một cách chính xác. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và kỹ năng của bạn.
Tusach.vn hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về đạo hàm cấp cao. Hãy tiếp tục khám phá các bài học khác trên website để nâng cao kiến thức giải tích của bạn!
