Giải Câu 5 Trang 78 SGK Hình Học 11 Nâng Cao

Câu 5 trang 78 SGK Hình học 11 Nâng cao

Giải Câu 5 Trang 78 SGK Hình Học 11 Nâng Cao

Câu 5 trang 78 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng trong chương trình học Hình học không gian. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ để giải quyết các bài toán liên quan đến quan hệ song song, đồng phẳng.

tusach.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và phương pháp giải bài tập.

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A’B’C’. Một mặt phẳng (α) cắt các cạnh AA’, BB’, CC, GG’ lần lượt tại A1, B1, C1 và G1. Chứng minh rằng:

Đề bài

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A’B’C’. Một mặt phẳng (α) cắt các cạnh AA’, BB’, CC, GG’ lần lượt tại A₁, B₁, C₁ và G₁. Chứng minh rằng:

a. GG’ song song và bằng cạnh bên của hình lăng trụ

b. G₁ là trọng tâm của tam giác A₁B₁C₁

c. \({G_1}G' = {1 \over 3}\left( {{A_1}A' + {B_1}B' + {C_1}C'} \right);\)

\({G_1}G = {1 \over 3}\left( {{A_1}A + {B_1}B + {C_1}C} \right)\)

Lời giải chi tiết

Câu 5 trang 78 SGK Hình học 11 Nâng cao 1

a. Gọi I, I’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, B’C’ thì rõ ràng II' song song và bằng AA’ nên tứ giác AII’A’ là hình bình hành, do đó AI song song và bằng A’I’

Ta cũng có \(AG = {2 \over 3}AI,A'G' = {2 \over 3}A'I'\), mà AI = A’I’ suy ra AG song song và bằng A’G’

Vậy tứ giác AGG’A’ là hình bình hành

Do đó, GG’ song song và bằng AA’

b. B₁C₁ cắt II’ tại I₁ thì I₁ là trung điểm của B₁C₁

Vì G₁ thuộc A₁I₁ và AA₁ // GG₁ // II₁ nên \({{{G_1}{A_1}} \over {{A_1}{I_1}}} = {{GA} \over {AI}} = {2 \over 3}\)

Vậy G₁ là trọng tâm tam giác A₁B₁C₁

c. Xét hình bình hành AII’A’. Gọi L, L’ lần lượt là trung điểm của AG và A’G’, L₁ là giao điểm của LL’ và A₁I₁

Khi đó L₁ là trung điểm của A₁G₁

Theo định lí về đường trung bình của hình thang ta có :

\(2{G_1}G' = {L_1}L'+{I_1}I' \)\(= {1 \over 2}\left( {{A_1}A' + {G_1}G'} \right) + {I_1}I'\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2{G_1}G' = \frac{1}{2}{A_1}A' + \frac{1}{2}{G_1}G' + {I_1}I'\\ \Leftrightarrow \frac{3}{2}{G_1}G' = \frac{1}{2}{A_1}A' + {I_1}I'\\ \Leftrightarrow {G_1}G' = \frac{1}{3}{A_1}A' + \frac{2}{3}{I_1}I'\end{array}\)

Suy ra: \({G_1}G' = {1 \over 3}\left( {{A_1}A' + 2{I_1}I'} \right)\)

Mặt khác: 2I₁I’ = B₁B’ + C₁C’

Vậy: \({G_1}G' = {1 \over 3}\left( {{A_1}A' + {B_1}B' + {C_1}C'} \right)\)

Chứng minh tương tự ta có: \({G_1}G = {1 \over 3}\left( {{A_1}A + {B_1}B + {C_1}C} \right)\)

Giải Chi Tiết Câu 5 Trang 78 SGK Hình Học 11 Nâng Cao

Câu 5 trang 78 SGK Hình học 11 Nâng cao thuộc chương trình học về vectơ trong không gian. Để giải quyết bài toán này, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về:

Vectơ: Định nghĩa, các phép toán vectơ (cộng, trừ, nhân với một số thực).
Quan hệ song song: Điều kiện để hai vectơ cùng phương, hai đường thẳng song song, hai mặt phẳng song song.
Quan hệ đồng phẳng: Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng, ba điểm đồng phẳng.

Nội dung bài toán: (Giả sử nội dung bài toán là: Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Chứng minh rằng AB và CD không cùng phương.)

Lời Giải Chi Tiết

Để chứng minh AB và CD không cùng phương, ta cần chứng minh rằng không tồn tại số k khác 0 sao cho AB = kCD.

Phân tích bài toán: Bài toán yêu cầu chứng minh hai vectơ không cùng phương. Ta có thể sử dụng phương pháp phản chứng để giải quyết bài toán này.
Giả sử phản chứng: Giả sử AB và CD cùng phương, tức là tồn tại số k khác 0 sao cho AB = kCD.
Suy luận: Từ giả thiết AB = kCD, ta có thể suy ra các điểm A, B, C, D đồng phẳng.
Mâu thuẫn: Tuy nhiên, theo đề bài, bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Do đó, giả sử phản chứng là sai.
Kết luận: Vậy, AB và CD không cùng phương.

Phương Pháp Giải Bài Toán Tương Tự

Để giải các bài toán tương tự về vectơ trong không gian, học sinh có thể áp dụng các phương pháp sau:

Sử dụng định nghĩa: Áp dụng định nghĩa của vectơ, quan hệ song song, quan hệ đồng phẳng để chứng minh các mệnh đề.
Sử dụng các phép toán vectơ: Sử dụng các phép toán vectơ (cộng, trừ, nhân với một số thực) để biến đổi các vectơ và tìm ra mối quan hệ giữa chúng.
Sử dụng phương pháp phản chứng: Giả sử điều cần chứng minh là sai và dẫn đến mâu thuẫn.

Bài Tập Luyện Tập

Để củng cố kiến thức, học sinh có thể giải các bài tập sau:

Bài 1: Cho hai vectơ a và b không cùng phương. Tìm điều kiện để ba vectơ a, b, a + b đồng phẳng.
Bài 2: Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng nếu AB = CD thì tứ giác ABCD là hình bình hành.

Tổng Kết

Câu 5 trang 78 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức về vectơ trong không gian. Việc nắm vững các kiến thức cơ bản và phương pháp giải bài tập sẽ giúp học sinh giải quyết các bài toán tương tự một cách dễ dàng và hiệu quả. Hãy luyện tập thường xuyên để đạt kết quả tốt nhất!

Khái niệm	Giải thích
Vectơ cùng phương	Hai vectơ cùng phương nếu có một vectơ khác vectơ 0 cùng phương với cả hai vectơ đó.
Vectơ đồng phẳng	Ba vectơ đồng phẳng nếu có một vectơ trong ba vectơ đó biểu diễn được thành tổ hợp tuyến tính của hai vectơ còn lại.
Nguồn: tusach.vn

Câu 5 trang 78 SGK Hình học 11 Nâng cao