Giải Câu 54 Trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 54 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 54 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng trong chương trình học.

Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.

tusach.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.

Tìm một điểm trên đồ thị của hàm số

Đề bài

Tìm một điểm trên đồ thị của hàm số \(y = {1 \over {x - 1}}\) sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2.

Lời giải chi tiết

Với mọi x ≠ 1, ta có : \(y' = - {1 \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị đã cho tại điểm \({M_0}\left( {{x_0};{1 \over {{x_0} - 1}}} \right)\) (với \({x_0} \ne 1\) ) là : \(y = - {1 \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + {1 \over {{x_0} - 1}}\)

Tiếp tuyến này cắt trục hoành tại điểm A có

hoành độ x_A thỏa mãn : \({{{x_A} - {x_0}} \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} = {1 \over {{x_0} - 1}} \Leftrightarrow {x_A} = 2{x_0} - 1\)

và cắt trục tung tại điểm B có tung độ y_B là :

\({y_B} = {{{x_0}} \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} + {1 \over {{x_0} - 1}} = {{2{x_0} - 1} \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\)

Ta có:

\(\eqalign{ & {S_{OAB}} = 2 \Leftrightarrow {1 \over 2}\left| {{x_A}} \right|.\left| {{y_B}} \right| = 2 \cr & \Leftrightarrow {{{{\left( {2{x_0} - 1} \right)}^2}} \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} = 4 \Leftrightarrow {x_0} = {3 \over 4} \cr} \)

Suy ra : \({y_0} = {1 \over {{3 \over 4} - 1}} = - 4.\) Vậy điểm phải tìm M_o có tọa độ là \(\left( {{3 \over 4}; - 4} \right)\)

Giải Chi Tiết Câu 54 Trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu 54 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thuộc chương trình học kỳ I lớp 11, tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Bài toán này thường yêu cầu học sinh xác định các điểm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến và vẽ đồ thị hàm số.

Nội dung Bài Toán

Thông thường, câu 54 sẽ đưa ra một hàm số cụ thể và yêu cầu:

Xác định tập xác định của hàm số.
Tính đạo hàm cấp nhất và cấp hai của hàm số.
Tìm các điểm cực trị của hàm số.
Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.
Vẽ đồ thị hàm số.

Phương Pháp Giải

Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, bạn cần nắm vững các bước sau:

Bước 1: Xác định tập xác định. Xác định các giá trị của x mà hàm số có nghĩa.
Bước 2: Tính đạo hàm. Sử dụng các quy tắc đạo hàm để tính đạo hàm cấp nhất (y') của hàm số.
Bước 3: Tìm điểm cực trị. Giải phương trình y' = 0 để tìm các điểm nghi ngờ là cực trị. Sau đó, sử dụng dấu của đạo hàm cấp hai (y'') hoặc xét dấu của đạo hàm cấp nhất để xác định loại cực trị (cực đại hoặc cực tiểu).
Bước 4: Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến. Xác định các khoảng mà đạo hàm cấp nhất dương (hàm số đồng biến) hoặc âm (hàm số nghịch biến).
Bước 5: Vẽ đồ thị. Sử dụng các thông tin đã tìm được (tập xác định, điểm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến) để vẽ đồ thị hàm số.

Ví dụ Minh Họa

Giả sử hàm số cho là: y = x³ - 3x² + 2

Bước 1: Tập xác định: D = ℝ

Bước 2: Đạo hàm: y' = 3x² - 6x

Bước 3: Điểm cực trị: Giải phương trình 3x² - 6x = 0, ta được x = 0 và x = 2. y'' = 6x - 6. y''(0) = -6 < 0 => x = 0 là điểm cực đại. y''(2) = 6 > 0 => x = 2 là điểm cực tiểu.

Bước 4: Khoảng đồng biến, nghịch biến:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞, 0) và (2, +∞).
Hàm số nghịch biến trên khoảng (0, 2).

Lưu Ý Quan Trọng

Khi giải bài tập về khảo sát hàm số, bạn cần chú ý:

Kiểm tra kỹ các bước tính đạo hàm.
Sử dụng đúng các quy tắc xét dấu đạo hàm.
Vẽ đồ thị hàm số một cách chính xác.

Bài Tập Tương Tự

Để củng cố kiến thức, bạn có thể luyện tập thêm các bài tập tương tự trong SGK và các tài liệu tham khảo khác.

Kết Luận

Câu 54 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải quyết các bài toán về khảo sát hàm số. Bằng cách nắm vững phương pháp giải và luyện tập thường xuyên, bạn sẽ tự tin hơn trong các kỳ thi.

Khái niệm	Giải thích
Đạo hàm cấp nhất	Tốc độ thay đổi tức thời của hàm số.
Đạo hàm cấp hai	Tốc độ thay đổi của đạo hàm cấp nhất.
Điểm cực trị	Điểm mà tại đó hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu.