Đề bài
Giải mỗi bất phương trình sau:
a) \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 6} \right) < - 3;\)
b) \({\log _3}\left( {{x^2} - 2x + 2} \right) > 0;\)
c) \({\log _4}\left( {2{x^2} + 3x} \right) \ge \frac{1}{2};\)
d) \({\log _{0,5}}\left( {x - 1} \right) \ge {\log _{0,5}}\left( {5 - 2x} \right);\)
e) \(\log \left( {{x^2} + 1} \right) \le \log \left( {x + 3} \right);\)
g)\({\log _{\frac{1}{5}}}\left( {{x^2} - 6x + 8} \right) + lo{g_5}\left( {x - 4} \right) > 0.\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Tìm điều kiện cho bất phương trình.
- Giải bất phương trình bằng cách đưa về cùng cơ số kết hợp biến đổi sử dụng công thức lôgarit.
Lời giải chi tiết
a) Điều kiện: \(2x - 6 > 0 \Leftrightarrow x > 3.\)
\({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 6} \right) < - 3 \Leftrightarrow 2x - 6 > {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 3}} \Leftrightarrow 2x - 6 > 8 \Leftrightarrow x > 7\left( {TM} \right).\)
b) Điều kiện: \({x^2} - 2x + 2 > 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + 1 > 0\) đúng \(\forall x \in \mathbb{R}.\)
\(\begin{array}{l}{\log _3}\left( {{x^2} - 2x + 2} \right) > 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 2 > {3^0} \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 2 > 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 > 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} > 0 \Leftrightarrow x \ne 1.\end{array}\)
c) Điều kiện: \(2{x^2} + 3x > 0 \Leftrightarrow x\left( {2x + 3} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 0\\x < - \frac{3}{2}\end{array} \right.\)
\({\log _4}\left( {2{x^2} + 3x} \right) \ge \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2{x^2} + 3x \ge {4^{\frac{1}{2}}} \Leftrightarrow 2{x^2} + 3x \ge 2 \Leftrightarrow 2{x^2} + 3x - 2 \ge 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {2x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) \ge 0 \Leftrightarrow - 2 \le x \le \frac{1}{2}.\)
Kết hợp với điều kiện xác định suy ra nghiệm của bất phương trình là:
\(0 < x \le \frac{1}{2}\) và \( - 2 \le x < - \frac{3}{2}.\)
d) \({\log _{0,5}}\left( {x - 1} \right) \ge {\log _{0,5}}\left( {5 - 2x} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 \le 5 - 2x\\x - 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\x > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < x \le 2.\)
Vậy nghiệm của bất phương trình là: \(\left( {1;2} \right].\)
e) \(\log \left( {{x^2} + 1} \right) \le \log \left( {x + 3} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 1 \le x + 3\\{x^2} + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 \le 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 2.\)
Vậy nghiệm của bất phương trình là: \(\left[ {1;2} \right].\)
g) \({\log _{\frac{1}{5}}}\left( {{x^2} - 6x + 8} \right) + lo{g_5}\left( {x - 4} \right) > 0 \Leftrightarrow - {\log _5}\left( {{x^2} - 6x + 8} \right) + lo{g_5}\left( {x - 4} \right) > 0\)
\( \Leftrightarrow lo{g_5}\left( {x - 4} \right) > {\log _5}\left( {{x^2} - 6x + 8} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 4 > {x^2} - 6x + 8\\{x^2} - 6x + 8 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 7x + 12 < 0\\{x^2} - 6x + 8 > 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 3} \right)\left( {x - 4} \right) < 0\\\left( {x - 2} \right)\left( {x - 4} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 < x < 4\\\left[ \begin{array}{l}x > 4\\x < 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow {\rm{He\"a vo\^a nghie\"a m}}{\rm{.}}\)
Suy ra bất phương trình vô nghiệm.
