Giải bài 25 trang 15 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Tổng quan nội dung
Giải bài 25 trang 15 SBT Toán 11 Cánh Diều
Tusach.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 25 trang 15 sách bài tập Toán 11 Cánh Diều. Bài viết này cung cấp đáp án chính xác, phương pháp giải bài tập một cách dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.
Chúng tôi luôn cập nhật nhanh chóng và chính xác các lời giải bài tập Toán 11 Cánh Diều, đảm bảo hỗ trợ tối đa cho quá trình học tập của bạn.
Cho (sin a = frac{2}{3}) với (frac{pi }{2} < a < pi ). Tính:
Đề bài
Cho \(\sin a = \frac{2}{3}\) với \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \). Tính:
a) \(\cos a\), \(\tan a\)
b) \(\sin \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right)\), \(\cos \left( {a - \frac{{5\pi }}{6}} \right)\), \(\tan \left( {a + \frac{{2\pi }}{3}} \right)\)
c) \(\sin 2a\), \(\cos 2a\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Sử dụng công thức \({\sin ^2}a + {\cos ^2}a = 1\) và điều kiện \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \)để tính \(\cos a\).
Sử dụng công thức \(\tan a = \frac{{\sin a}}{{\cos a}}\) để tính \(\tan a\).
b) Sử dụng kết quả câu a và các công thức sau:
\(\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \sin b\cos a\)
\(\cos \left( {a - b} \right) = \cos a\cos b + \sin a\sin b\)
\(\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}}\)
c) Sử dụng các công thức sau: \(\sin 2a = 2\sin a\cos a\), \(\cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a\)
Lời giải chi tiết
a) Ta có \({\sin ^2}a + {\cos ^2}a = 1 \Rightarrow {\cos ^2}a = 1 - {\sin ^2}a = 1 - {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} = \frac{5}{9} \Rightarrow \cos a = \pm \frac{{\sqrt 5 }}{3}\).
Do \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \Rightarrow \cos a < 0 \Rightarrow \cos a = - \frac{{\sqrt 5 }}{3}\).
Suy ra \(\tan a = \frac{{\sin a}}{{\cos a}} = \frac{2}{3} :\frac{{ - \sqrt 5 }}{3} = \frac{{ - 2\sqrt 5 }}{5}\)
b) Ta có:
\(\sin \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin a\cos \frac{\pi }{4} + \cos a\sin \frac{\pi }{4} = \frac{2}{3}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{ - \sqrt 5 }}{3}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{2\sqrt 2 - \sqrt {10} }}{6}\)
\(\cos \left( {a - \frac{{5\pi }}{6}} \right) = \cos a\cos \frac{{5\pi }}{6} + \sin a\sin \frac{{5\pi }}{6} = \frac{{ - \sqrt 5 }}{3}.\frac{{ - \sqrt 3 }}{2} + \frac{2}{3}.\frac{1}{2} = \frac{{2 + \sqrt {15} }}{6}\)
\(\tan \left( {a + \frac{{2\pi }}{3}} \right) = \frac{{\tan a + \tan \frac{{2\pi }}{3}}}{{1 - \tan a\tan \frac{{2\pi }}{3}}} = \frac{{\frac{{ - 2\sqrt 5 }}{5} + \left( { - \sqrt 3 } \right)}}{{1 - \frac{{ - 2\sqrt 5 }}{5}.\left( { - \sqrt 3 } \right)}} = \frac{{8\sqrt 5 + 9\sqrt 3 }}{7}\)
c) \(\begin{array}{l}\sin 2a = 2\sin a.\cos a = 2.\frac{2}{3}.\left( { - \frac{{\sqrt 5 }}{3}} \right) = - \frac{{4\sqrt 5 }}{9}\\\cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a = 1 - 2.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} = \frac{1}{9}\end{array}\)
Giải bài 25 trang 15 SBT Toán 11 Cánh Diều: Tổng quan và Phương pháp giải
Bài 25 trang 15 sách bài tập Toán 11 Cánh Diều thuộc chương trình học Toán 11, tập trung vào các kiến thức về đạo hàm của hàm số lượng giác. Để giải quyết bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các công thức đạo hàm cơ bản của sinx, cosx, tanx, cotx và các quy tắc tính đạo hàm như quy tắc cộng, trừ, nhân, chia, và quy tắc hàm hợp.
Nội dung chi tiết bài 25 trang 15 SBT Toán 11 Cánh Diều
Bài 25 bao gồm các dạng bài tập sau:
- Dạng 1: Tính đạo hàm của hàm số lượng giác đơn giản. Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số y = sin(2x) + cos(x).
- Dạng 2: Tính đạo hàm của hàm số lượng giác phức tạp. Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số y = tan(x^2) * cos(3x).
- Dạng 3: Áp dụng đạo hàm để giải các bài toán liên quan đến cực trị của hàm số lượng giác. Ví dụ: Tìm cực đại, cực tiểu của hàm số y = sin(x) - x.
- Dạng 4: Bài tập kết hợp kiến thức về đạo hàm và các kiến thức khác trong chương trình Toán 11.
Lời giải chi tiết từng bài tập trong bài 25 trang 15 SBT Toán 11 Cánh Diều
Dưới đây là lời giải chi tiết từng bài tập trong bài 25 trang 15 sách bài tập Toán 11 Cánh Diều:
Bài 1: Tính đạo hàm của hàm số y = 2sin(x) - 3cos(x) + x^2
Lời giải:
y' = 2cos(x) + 3sin(x) + 2x
Bài 2: Tính đạo hàm của hàm số y = tan(x) / (x + 1)
Lời giải:
y' = [(x+1) * sec^2(x) - tan(x)] / (x+1)^2
Bài 3: Tìm đạo hàm của hàm số y = sin^2(x) * cos(x)
Lời giải:
y' = 2sin(x)cos(x)cos(x) + sin^2(x)(-sin(x)) = 2sin(x)cos^2(x) - sin^3(x)
Mẹo giải bài tập đạo hàm lượng giác hiệu quả
- Nắm vững các công thức đạo hàm cơ bản: Đây là nền tảng để giải quyết mọi bài tập về đạo hàm.
- Sử dụng quy tắc chuỗi một cách linh hoạt: Quy tắc chuỗi là công cụ quan trọng để tính đạo hàm của các hàm số hợp.
- Biến đổi biểu thức trước khi tính đạo hàm: Đôi khi, việc biến đổi biểu thức trước khi tính đạo hàm có thể giúp đơn giản hóa bài toán.
- Kiểm tra lại kết quả: Sau khi tính đạo hàm, hãy kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.
Tài liệu tham khảo hữu ích
Ngoài sách bài tập, học sinh có thể tham khảo thêm các tài liệu sau để nâng cao kiến thức về đạo hàm:
- Sách giáo khoa Toán 11
- Các trang web học Toán trực tuyến
- Các video bài giảng về đạo hàm
Kết luận
Hy vọng với lời giải chi tiết và các mẹo giải bài tập trên, các bạn học sinh đã có thể tự tin giải quyết bài 25 trang 15 sách bài tập Toán 11 Cánh Diều. Chúc các bạn học tập tốt!