Bài 3. Cấp số nhân

Bài 3. Cấp số nhân - Lý thuyết và Bài tập

Cấp số nhân là một dãy số đặc biệt, trong đó mỗi số hạng sau được tạo thành bằng cách nhân số hạng trước đó với một số không đổi gọi là công bội. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn tổng quan về cấp số nhân, bao gồm định nghĩa, tính chất, công thức và các bài tập minh họa.

1. Định nghĩa cấp số nhân

Một dãy số (u_n) được gọi là cấp số nhân nếu có một số thực q ≠ 0 sao cho:

• u_n+1 = q.u_n với mọi n ≥ 1

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

2. Tính chất của cấp số nhân

Một số tính chất quan trọng của cấp số nhân:

• Nếu u₁ = 0 thì u_n = 0 với mọi n.
• Nếu u₁ ≠ 0 và q = 1 thì u_n = u₁ với mọi n.
• Nếu u₁ ≠ 0 và q = -1 thì u_n có giá trị xen kẽ dương và âm.

3. Số hạng tổng quát của cấp số nhân

Số hạng tổng quát của cấp số nhân (u_n) được tính theo công thức:

u_n = u₁.q^n-1

Trong đó:

• u₁ là số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
• q là công bội của cấp số nhân.
• n là số thứ tự của số hạng cần tìm.

4. Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân

Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân (S_n) được tính theo công thức:

S_n = u₁.(1 - qⁿ) / (1 - q) (với q ≠ 1)

Nếu q = 1 thì S_n = n.u₁

5. Bài tập minh họa

Bài 1: Cho cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 2 và công bội q = 3. Tính số hạng thứ 5 của cấp số nhân.

Giải:

u₅ = u₁.q^5-1 = 2.3⁴ = 2.81 = 162

Bài 2: Cho cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 1 và công bội q = -2. Tính tổng của 6 số hạng đầu tiên của cấp số nhân.

Giải:

S₆ = u₁.(1 - q⁶) / (1 - q) = 1.(1 - (-2)⁶) / (1 - (-2)) = (1 - 64) / 3 = -63 / 3 = -21

6. Ứng dụng của cấp số nhân

Cấp số nhân có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ:

• Tính lãi kép trong ngân hàng.
• Tính sự tăng trưởng dân số.
• Tính sự phân rã của các chất phóng xạ.

7. Luyện tập thêm

Để nắm vững kiến thức về cấp số nhân, bạn nên luyện tập thêm các bài tập khác nhau. tusach.vn cung cấp nhiều bài tập đa dạng với các mức độ khó khác nhau để bạn có thể rèn luyện kỹ năng giải toán của mình.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về cấp số nhân. Chúc bạn học tốt!