Bài 4. Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

Bài 4: Phương trình, Bất phương trình Mũ và Lôgarit - Tổng quan

Chào mừng các bạn đến với bài học về phương trình và bất phương trình mũ và lôgarit, một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán 12. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản, các phương pháp giải quyết và các bài tập thực hành để bạn có thể tự tin đối phó với các bài toán liên quan.

I. Phương trình mũ

Phương trình mũ là phương trình có chứa ẩn số trong số mũ. Để giải phương trình mũ, chúng ta thường sử dụng các phương pháp sau:

• Đưa về cùng cơ số: Nếu có thể, hãy đưa cả hai vế của phương trình về cùng một cơ số.
• Lấy lôgarit hai vế: Sử dụng hàm lôgarit để loại bỏ số mũ.
• Đặt ẩn phụ: Trong một số trường hợp, việc đặt ẩn phụ có thể giúp đơn giản hóa phương trình.

Ví dụ: Giải phương trình 2^x = 8

Ta có thể viết 8 = 2³, do đó phương trình trở thành 2^x = 2³. Suy ra x = 3.

II. Bất phương trình mũ

Bất phương trình mũ là bất phương trình có chứa ẩn số trong số mũ. Khi giải bất phương trình mũ, cần chú ý đến tính đơn điệu của hàm mũ:

• Nếu cơ số lớn hơn 1, hàm mũ là hàm đồng biến.
• Nếu cơ số nhỏ hơn 1, hàm mũ là hàm nghịch biến.

Ví dụ: Giải bất phương trình 3^x > 9

Ta có thể viết 9 = 3², do đó bất phương trình trở thành 3^x > 3². Vì cơ số 3 > 1, hàm mũ là hàm đồng biến, suy ra x > 2.

III. Phương trình lôgarit

Phương trình lôgarit là phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức lôgarit. Để giải phương trình lôgarit, chúng ta thường sử dụng các phương pháp sau:

• Đưa về dạng cơ bản: Sử dụng các tính chất của lôgarit để đưa phương trình về dạng log_ax = b.
• Mũ hóa hai vế: Sử dụng định nghĩa của lôgarit để loại bỏ biểu thức lôgarit.
• Đặt ẩn phụ: Trong một số trường hợp, việc đặt ẩn phụ có thể giúp đơn giản hóa phương trình.

Ví dụ: Giải phương trình log₂(x + 1) = 3

Mũ hóa hai vế với cơ số 2, ta được x + 1 = 2³ = 8. Suy ra x = 7.

IV. Bất phương trình lôgarit

Bất phương trình lôgarit là bất phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức lôgarit. Khi giải bất phương trình lôgarit, cần chú ý đến tính đơn điệu của hàm lôgarit:

• Nếu cơ số lớn hơn 1, hàm lôgarit là hàm đồng biến.
• Nếu cơ số nhỏ hơn 1, hàm lôgarit là hàm nghịch biến.

Ví dụ: Giải bất phương trình log_0.5(x - 2) > 1

Vì cơ số 0.5 < 1, hàm lôgarit là hàm nghịch biến, suy ra x - 2 < (0.5)¹ = 0.5. Do đó, x < 2.5.

V. Bài tập vận dụng

Để củng cố kiến thức, hãy thử giải các bài tập sau:

1. Giải phương trình: 4^x - 5.2^x + 4 = 0
2. Giải bất phương trình: log₃(x² - 4x + 3) < 0
3. Tìm tập nghiệm của phương trình: log₂(x + 3) + log₂(x - 3) = 4

Kết luận

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về phương trình và bất phương trình mũ và lôgarit. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán liên quan. Chúc các bạn học tốt!