Đề bài
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_n} = \cos \left[ {\left( {2n + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right]\)
a) Viết sáu số hạng đầu của dãy số.
b) Chứng minh rằng \({u_{n + 6}} = {u_n}\) với mọi \(n \ge 1\)
c) Tính tổng 27 số hạng đầu của dãy số.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Thay \(n = 1\),\(n = 2\), \(n = 3\), \(n = 4\), \(n = 5\), \(n = 6\) vào biểu thức \({u_n} = \cos \left[ {\left( {2n + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right]\) để tính \({u_1},{u_2},{u_3},{u_4},{u_5},{u_6}\).
b) Thay \(n\) bởi \(n + 6\) vào biểu thức \({u_n} = \cos \left[ {\left( {2n + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right]\) và chú ý rằng \(\cos \left( {x + k2\pi } \right) = \cos x\).
c) Sử dụng kết quả câu b.
Lời giải chi tiết
a) Ta có:
\({u_1} = \cos \left[ {\left( {2.1 + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \left( {3\frac{\pi }{6}} \right) = \cos \frac{\pi }{2} = 0\)
\({u_2} = \cos \left[ {\left( {2.2 + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \left( {5\frac{\pi }{6}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
\({u_3} = \cos \left[ {\left( {2.3 + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \left( {7\frac{\pi }{6}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
\({u_4} = \cos \left[ {\left( {2.4 + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \left( {9\frac{\pi }{6}} \right) = \cos \frac{{3\pi }}{2} = 0\)
\({u_5} = \cos \left[ {\left( {2.5 + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \left( {11\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
\({u_6} = \cos \left[ {\left( {2.6 + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \left( {13\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
Vậy sáu số hạng đầu của dãy số là \(0, - \frac{{\sqrt 3 }}{2}, - \frac{{\sqrt 3 }}{2},0,\frac{{\sqrt 3 }}{2},\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
b) Ta có:
\({u_{n + 6}} = \cos \left[ {\left( {2\left( {n + 6} \right) + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \left[ {\left( {2n + 1} \right)\frac{\pi }{6} + 12\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \left[ {\left( {2n + 1} \right)\frac{\pi }{6} + 2\pi } \right]\)
\( = \cos \left[ {\left( {2n + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = {u_n}\)
Bài toán được chứng minh.
c) Theo câu b, ta có \({u_{n + 6}} = {u_n}\), nên vì vậy ta có:
\({u_1} = {u_7} = {u_{13}} = {u_{19}} = {u_{25}}\),
\({u_2} = {u_8} = {u_{14}} = {u_{20}} = {u_{26}}\),
\({u_3} = {u_9} = {u_{15}} = {u_{21}} = {u_{27}}\),
\({u_4} = {u_{10}} = {u_{16}} = {u_{22}}\),
\({u_5} = {u_{11}} = {u_{17}} = {u_{23}}\),
\({u_6} = {u_{12}} = {u_{18}} = {u_{24}}\).
Do đó, \({S_{27}} = 4\left( {{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} + {u_6}} \right) + {u_1} + {u_2} + {u_3}\)
\( = 4\left( {0 + \frac{{ - \sqrt 3 }}{2} + \frac{{ - \sqrt 3 }}{2} + 0 + \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2} + 0} \right) + 0 + \frac{{ - \sqrt 3 }}{2} + \frac{{ - \sqrt 3 }}{2} = - \sqrt 3 \)
