Bài 1: Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Đạo hàm là một khái niệm cơ bản và quan trọng trong giải tích, đóng vai trò then chốt trong việc nghiên cứu sự thay đổi của hàm số. Bài viết này sẽ đi sâu vào định nghĩa, cách tính và ý nghĩa hình học của đạo hàm, giúp bạn nắm vững kiến thức nền tảng cho các bài học tiếp theo.
1. Định nghĩa đạo hàm
Giả sử hàm số f(x) được xác định trên một khoảng mở (a, b). Đạo hàm của f(x) tại điểm x0 thuộc (a, b), ký hiệu là f'(x0), được định nghĩa là:
f'(x0) = limh→0 [f(x0 + h) - f(x0)] / h
Nếu giới hạn này tồn tại, ta nói hàm số f(x) khả vi tại điểm x0. Đạo hàm f'(x0) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) tại điểm (x0, f(x0)).
2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Như đã đề cập, đạo hàm của hàm số tại một điểm chính là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm đó. Điều này có ý nghĩa quan trọng trong việc:
- Xác định tính đơn điệu của hàm số: Nếu f'(x) > 0 trên một khoảng, hàm số f(x) đồng biến trên khoảng đó. Nếu f'(x) < 0 trên một khoảng, hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng đó.
- Tìm cực trị của hàm số: Các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại là các điểm nghi ngờ là cực trị của hàm số.
- Nghiên cứu hình dạng đồ thị hàm số: Đạo hàm giúp xác định các khoảng lồi, lõm của đồ thị hàm số.
3. Ví dụ minh họa
Xét hàm số f(x) = x2. Ta tìm đạo hàm của hàm số tại một điểm bất kỳ x:
f'(x) = limh→0 [(x + h)2 - x2] / h = limh→0 [x2 + 2xh + h2 - x2] / h = limh→0 [2x + h] = 2x
Vậy, đạo hàm của hàm số f(x) = x2 là f'(x) = 2x. Tại điểm x = 2, đạo hàm là f'(2) = 4. Điều này có nghĩa là tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) = x2 tại điểm (2, 4) có hệ số góc là 4.
4. Các quy tắc tính đạo hàm cơ bản
Để tính đạo hàm một cách nhanh chóng và hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các quy tắc tính đạo hàm cơ bản:
- Đạo hàm của hằng số:(c)' = 0
- Đạo hàm của hàm số mũ:(xn)' = nxn-1
- Đạo hàm của tổng/hiệu:(u ± v)' = u' ± v'
- Đạo hàm của tích:(uv)' = u'v + uv'
- Đạo hàm của thương:(u/v)' = (u'v - uv') / v2
5. Bài tập vận dụng
Hãy tính đạo hàm của các hàm số sau:
- f(x) = 3x2 + 2x - 1
- f(x) = (x2 + 1) / (x - 1)
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về định nghĩa đạo hàm và ý nghĩa hình học của đạo hàm. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và áp dụng vào giải quyết các bài toán thực tế.
