Đề bài
Cho \(\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{3}\) với \( - \frac{\pi }{2} < \alpha < 0\). Tính:
a) \(A = \sin \alpha .\cos \alpha \)
b) \(B = \sin \alpha - \cos \alpha \)
c) \(C = {\sin ^3}\alpha + {\cos ^3}\alpha \)
d) \(D = {\sin ^4}\alpha + {\cos ^4}\alpha \)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) với \(A = \sin \alpha \), \(B = \cos \alpha \)
Sử dụng công thức \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\).
b) Sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) với \(A = \sin \alpha \), \(B = \cos \alpha \)
Sử dụng công thức \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\) và điều kiện \( - \frac{\pi }{2} < \alpha < 0\)để xét dấu của \(\sin \alpha \) và \(\cos \alpha \).
c) Sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + {B^3} + 3AB\left( {A + B} \right)\) với \(A = \sin \alpha \), \(B = \cos \alpha \).
Sử dụng công thức \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\) và kết quả ở câu a.
d) Sử dụng công thức \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) với \(A = {\sin ^2}\alpha \), \(B = {\cos ^2}\alpha \)
Sử dụng công thức \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\) và kết quả ở câu a.
Lời giải chi tiết
a) Ta có \({\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)^2} = {\sin ^2}\alpha + 2\sin \alpha .\cos \alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha \)
Suy ra \(A = \sin \alpha .\cos \alpha = \frac{{{{\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)}^2} - 1}}{2} = \frac{{{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2} - 1}}{2} = - \frac{4}{9}\)
b) Ta có \({B^2} = {\left( {\sin \alpha - \cos \alpha } \right)^2} = {\sin ^2}\alpha - 2\sin \alpha .\cos \alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 - 2\sin \alpha \cos \alpha \)
Theo câu a, ta có \(\sin \alpha .\cos \alpha = - \frac{4}{9}\) nên \({B^2} = 1 - 2\left( { - \frac{4}{9}} \right) = \frac{{17}}{9} \Rightarrow B = \pm \frac{{\sqrt {17} }}{3}\).
Do \( - \frac{\pi }{2} < \alpha < 0\), ta suy ra \(\sin \alpha < 0\), \(\cos \alpha > 0\). Từ đó \(B = \sin \alpha - \cos \alpha < 0\).
Như vậy \(B = - \frac{{\sqrt {17} }}{3}\)
c) Ta có \({\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)^3} = {\sin ^3}\alpha + {\cos ^3}\alpha + 3\sin \alpha .\cos \alpha \left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)\)
Theo câu a, ta có \(\sin \alpha .\cos \alpha = - \frac{4}{9}\) nên:
\(C = {\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)^3} - 3\sin \alpha .\cos \alpha \left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right) = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^3} - 3.\frac{{ - 4}}{9}.\frac{1}{3} = \frac{{13}}{{27}}\).
d) Ta có \({\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)^2} = {\left( {{{\sin }^2}\alpha } \right)^2} + {\left( {{{\cos }^2}\alpha } \right)^2} + 2{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha \)
\( = {\sin ^4}\alpha + {\cos ^4}\alpha + 2{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha \)
Theo câu a, ta có \(\sin \alpha .\cos \alpha = - \frac{4}{9}\) nên:
\(D = {\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)^2} - 2{\left( {\sin \alpha .\cos \alpha } \right)^2} = 1 - 2{\left( { - \frac{4}{9}} \right)^2} = \frac{{49}}{{81}}\)
