Giải bài 13 trang 11 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Tổng quan nội dung
Giải bài 13 trang 11 SBT Toán 11 Cánh Diều
Chào mừng bạn đến với tusach.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và chính xác cho các bài tập trong sách bài tập Toán 11 Cánh Diều. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài 13 trang 11 một cách dễ hiểu nhất, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp nội dung chất lượng cao, đáp ứng nhu cầu học tập của học sinh.
Cho \(\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{3}\) với \( - \frac{\pi }{2} < \alpha < 0\). Tính:
Đề bài
Cho \(\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{3}\) với \( - \frac{\pi }{2} < \alpha < 0\). Tính:
a) \(A = \sin \alpha .\cos \alpha \)
b) \(B = \sin \alpha - \cos \alpha \)
c) \(C = {\sin ^3}\alpha + {\cos ^3}\alpha \)
d) \(D = {\sin ^4}\alpha + {\cos ^4}\alpha \)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) với \(A = \sin \alpha \), \(B = \cos \alpha \)
Sử dụng công thức \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\).
b) Sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) với \(A = \sin \alpha \), \(B = \cos \alpha \)
Sử dụng công thức \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\) và điều kiện \( - \frac{\pi }{2} < \alpha < 0\)để xét dấu của \(\sin \alpha \) và \(\cos \alpha \).
c) Sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + {B^3} + 3AB\left( {A + B} \right)\) với \(A = \sin \alpha \), \(B = \cos \alpha \).
Sử dụng công thức \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\) và kết quả ở câu a.
d) Sử dụng công thức \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) với \(A = {\sin ^2}\alpha \), \(B = {\cos ^2}\alpha \)
Sử dụng công thức \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\) và kết quả ở câu a.
Lời giải chi tiết
a) Ta có \({\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)^2} = {\sin ^2}\alpha + 2\sin \alpha .\cos \alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha \)
Suy ra \(A = \sin \alpha .\cos \alpha = \frac{{{{\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)}^2} - 1}}{2} = \frac{{{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2} - 1}}{2} = - \frac{4}{9}\)
b) Ta có \({B^2} = {\left( {\sin \alpha - \cos \alpha } \right)^2} = {\sin ^2}\alpha - 2\sin \alpha .\cos \alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 - 2\sin \alpha \cos \alpha \)
Theo câu a, ta có \(\sin \alpha .\cos \alpha = - \frac{4}{9}\) nên \({B^2} = 1 - 2\left( { - \frac{4}{9}} \right) = \frac{{17}}{9} \Rightarrow B = \pm \frac{{\sqrt {17} }}{3}\).
Do \( - \frac{\pi }{2} < \alpha < 0\), ta suy ra \(\sin \alpha < 0\), \(\cos \alpha > 0\). Từ đó \(B = \sin \alpha - \cos \alpha < 0\).
Như vậy \(B = - \frac{{\sqrt {17} }}{3}\)
c) Ta có \({\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)^3} = {\sin ^3}\alpha + {\cos ^3}\alpha + 3\sin \alpha .\cos \alpha \left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)\)
Theo câu a, ta có \(\sin \alpha .\cos \alpha = - \frac{4}{9}\) nên:
\(C = {\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)^3} - 3\sin \alpha .\cos \alpha \left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right) = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^3} - 3.\frac{{ - 4}}{9}.\frac{1}{3} = \frac{{13}}{{27}}\).
d) Ta có \({\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)^2} = {\left( {{{\sin }^2}\alpha } \right)^2} + {\left( {{{\cos }^2}\alpha } \right)^2} + 2{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha \)
\( = {\sin ^4}\alpha + {\cos ^4}\alpha + 2{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha \)
Theo câu a, ta có \(\sin \alpha .\cos \alpha = - \frac{4}{9}\) nên:
\(D = {\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)^2} - 2{\left( {\sin \alpha .\cos \alpha } \right)^2} = 1 - 2{\left( { - \frac{4}{9}} \right)^2} = \frac{{49}}{{81}}\)
Giải bài 13 trang 11 SBT Toán 11 Cánh Diều: Tổng quan và Phương pháp giải
Bài 13 trang 11 sách bài tập Toán 11 Cánh Diều thuộc chương trình học về hàm số lượng giác. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức về tập xác định, tập giá trị, tính đơn điệu, cực trị của hàm số lượng giác để giải quyết. Để giải bài tập này hiệu quả, bạn cần nắm vững các khái niệm cơ bản và các công thức liên quan.
Nội dung chi tiết bài 13 trang 11 SBT Toán 11 Cánh Diều
Bài 13 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
- Dạng 1: Xác định tập xác định của hàm số lượng giác.
- Dạng 2: Tìm tập giá trị của hàm số lượng giác.
- Dạng 3: Xét tính đơn điệu của hàm số lượng giác trên một khoảng cho trước.
- Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác.
Hướng dẫn giải chi tiết từng dạng bài tập
Dạng 1: Xác định tập xác định của hàm số lượng giác
Để xác định tập xác định của hàm số lượng giác, bạn cần chú ý đến các điều kiện sau:
- Mẫu số khác 0.
- Biểu thức dưới dấu căn bậc chẵn lớn hơn hoặc bằng 0.
- Biểu thức trong logarit lớn hơn 0.
Ví dụ: Hàm số y = tan(x) có tập xác định là D = R \ {kπ + π/2, k ∈ Z}.
Dạng 2: Tìm tập giá trị của hàm số lượng giác
Để tìm tập giá trị của hàm số lượng giác, bạn có thể sử dụng các phương pháp sau:
- Đặt t = biểu thức bên trong hàm số lượng giác, sau đó tìm tập giá trị của t.
- Sử dụng các tính chất của hàm số lượng giác, ví dụ: -1 ≤ sin(x) ≤ 1, -1 ≤ cos(x) ≤ 1.
Ví dụ: Hàm số y = 2sin(x) + 1 có tập giá trị là [-1, 3].
Dạng 3: Xét tính đơn điệu của hàm số lượng giác
Để xét tính đơn điệu của hàm số lượng giác, bạn có thể sử dụng đạo hàm của hàm số. Nếu đạo hàm dương trên một khoảng, hàm số đồng biến trên khoảng đó. Nếu đạo hàm âm trên một khoảng, hàm số nghịch biến trên khoảng đó.
Ví dụ: Hàm số y = cos(x) nghịch biến trên khoảng (0, π).
Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác
Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác, bạn có thể sử dụng các phương pháp sau:
- Sử dụng đạo hàm để tìm cực trị của hàm số.
- Sử dụng các tính chất của hàm số lượng giác, ví dụ: sin(x) đạt giá trị lớn nhất là 1 khi x = π/2 + k2π, đạt giá trị nhỏ nhất là -1 khi x = 3π/2 + k2π.
Ví dụ: Hàm số y = sin(x) có giá trị lớn nhất là 1 và giá trị nhỏ nhất là -1.
Luyện tập thêm
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập về hàm số lượng giác, bạn nên luyện tập thêm các bài tập tương tự trong sách bài tập và các đề thi thử. Hãy tìm kiếm các nguồn tài liệu học tập uy tín và tham gia các diễn đàn, nhóm học tập để trao đổi kiến thức và kinh nghiệm với bạn bè.
Kết luận
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức và phương pháp giải bài tập hiệu quả cho bài 13 trang 11 SBT Toán 11 Cánh Diều. Chúc bạn học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!
| Dạng bài | Phương pháp giải |
|---|---|
| Tập xác định | Kiểm tra điều kiện mẫu số, căn bậc chẵn, logarit |
| Tập giá trị | Đặt ẩn phụ, sử dụng tính chất hàm số |
| Tính đơn điệu | Sử dụng đạo hàm |
| Cực trị | Sử dụng đạo hàm, tính chất hàm số |