Chương III. Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương III trong chương trình Giải tích là nền tảng quan trọng cho việc học các khái niệm nâng cao hơn như đạo hàm, tích phân và phương trình vi phân. Chương này tập trung vào hai khái niệm cốt lõi: giới hạn và tính liên tục của hàm số.

1. Giới hạn của Hàm Số

Giới hạn của hàm số là một khái niệm mô tả hành vi của hàm số khi biến độc lập tiến gần đến một giá trị cụ thể. Nói cách khác, giới hạn cho chúng ta biết giá trị mà hàm số “tiến tới” khi x tiến tới một giá trị nhất định, dù giá trị của hàm số tại điểm đó có thể xác định hay không.

• Định nghĩa: Nếu với mọi ε > 0, tồn tại một δ > 0 sao cho nếu 0 < |x - a| < δ thì |f(x) - L| < ε, ta nói rằng giới hạn của f(x) khi x tiến tới a là L, ký hiệu là lim_x→a f(x) = L.
• Các tính chất của giới hạn: Giới hạn có các tính chất quan trọng như tính cộng, tính trừ, tính nhân, tính chia, và giới hạn của hàm hợp.
• Các dạng vô định: Khi tính giới hạn, chúng ta thường gặp các dạng vô định như 0/0, ∞/∞, ∞ - ∞. Cần sử dụng các kỹ thuật như phân tích thành nhân tử, nhân liên hợp, quy tắc L'Hopital để giải quyết các dạng này.

2. Hàm Số Liên Tục

Hàm số liên tục là hàm số không có “đứt gãy” tại bất kỳ điểm nào trong tập xác định của nó. Điều này có nghĩa là chúng ta có thể vẽ đồ thị của hàm số mà không cần nhấc bút.

• Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x₀ nếu thỏa mãn ba điều kiện sau:
  1. f(x₀) xác định.
  2. lim_x→x0 f(x) tồn tại.
  3. lim_x→x0 f(x) = f(x₀).
• Các điều kiện đủ để hàm số liên tục: Nếu f(x) là hàm đa thức, hàm hữu tỉ (xác định trên tập xác định của nó), hàm lượng giác, hàm mũ, hàm logarit (xác định trên tập xác định của nó) thì f(x) liên tục trên tập xác định của nó.
• Ứng dụng của tính liên tục: Tính liên tục đóng vai trò quan trọng trong nhiều định lý của giải tích, như định lý giá trị trung gian, định lý Weierstrass về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.

3. Bài Tập Ví Dụ

Bài tập 1: Tính lim_x→2 (x² - 4) / (x - 2)

Giải: lim_x→2 (x² - 4) / (x - 2) = lim_x→2 (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = lim_x→2 (x + 2) = 4

Bài tập 2: Xét hàm số f(x) = { x², nếu x ≤ 1; 2x - 1, nếu x > 1 }. Hàm số này có liên tục tại x = 1 không?

Giải: f(1) = 1² = 1. lim_x→1^- f(x) = lim_x→1^- x² = 1. lim_x→1⁺ f(x) = lim_x→1⁺ (2x - 1) = 1. Vì lim_x→1 f(x) = f(1) = 1, nên hàm số f(x) liên tục tại x = 1.

Kết luận

Chương III cung cấp những kiến thức cơ bản và quan trọng về giới hạn và tính liên tục của hàm số. Việc nắm vững những khái niệm này là bước đệm quan trọng để tiếp thu các kiến thức nâng cao hơn trong giải tích và các môn học liên quan. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để hiểu sâu hơn về các khái niệm này và áp dụng chúng vào giải quyết các bài toán thực tế.