Bài 8.27 trang 79 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Bài 8.27 trang 79 SGK Toán 11 tập 2 là một bài tập quan trọng trong chương trình học, giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của nó trong việc giải quyết các bài toán thực tế. Dưới đây là lời giải chi tiết và phân tích bài tập này:

Nội dung bài tập:

Bài 8.27 thường yêu cầu học sinh tính đạo hàm của một hàm số, tìm cực trị của hàm số, hoặc giải các bài toán liên quan đến tốc độ thay đổi của một đại lượng. Cụ thể, bài tập có thể yêu cầu:

• Tính đạo hàm f'(x) của hàm số f(x).
• Tìm các điểm cực trị của hàm số f(x).
• Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
• Giải các bài toán tối ưu hóa, ví dụ: tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng cho trước.

Lời giải chi tiết:

Để giải bài 8.27, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:

1. Các công thức đạo hàm cơ bản: Đạo hàm của các hàm số đơn giản như xⁿ, sin(x), cos(x), e^x, ln(x).
2. Các quy tắc đạo hàm: Quy tắc cộng, trừ, nhân, chia, quy tắc chuỗi.
3. Điều kiện cực trị: f'(x) = 0 và f''(x) khác 0.

Ví dụ, giả sử bài tập yêu cầu tìm cực trị của hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2:

1. Bước 1: Tính đạo hàm cấp 1: f'(x) = 3x² - 6x
2. Bước 2: Tìm các điểm cực trị: Giải phương trình f'(x) = 0, ta được x = 0 hoặc x = 2.
3. Bước 3: Tính đạo hàm cấp 2: f''(x) = 6x - 6
4. Bước 4: Xác định loại cực trị:
   • f''(0) = -6 < 0 => Hàm số đạt cực đại tại x = 0. Giá trị cực đại là f(0) = 2.
   • f''(2) = 6 > 0 => Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2. Giá trị cực tiểu là f(2) = -2.

Mẹo giải bài tập:

Để giải các bài tập về đạo hàm một cách hiệu quả, học sinh nên:

• Nắm vững các công thức đạo hàm cơ bản và quy tắc đạo hàm.
• Luyện tập thường xuyên để làm quen với các dạng bài tập khác nhau.
• Kiểm tra lại kết quả bằng cách sử dụng máy tính hoặc phần mềm tính toán.
• Sử dụng sơ đồ tư duy hoặc các công cụ hỗ trợ học tập để hệ thống hóa kiến thức.

Ứng dụng của đạo hàm:

Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

• Vật lý: Tính vận tốc, gia tốc, lực.
• Kinh tế: Tính chi phí biên, doanh thu biên, lợi nhuận biên.
• Kỹ thuật: Tối ưu hóa thiết kế, điều khiển hệ thống.
• Thống kê: Phân tích dữ liệu, dự đoán xu hướng.

Kết luận: Bài 8.27 trang 79 SGK Toán 11 tập 2 là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu sâu hơn về đạo hàm và ứng dụng của nó. Bằng cách nắm vững kiến thức và luyện tập thường xuyên, học sinh có thể tự tin giải quyết các bài tập tương tự và áp dụng kiến thức này vào thực tế.