Bài 2.7 trang 52 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Bài 2.7 trang 52 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá: Giải chi tiết và hướng dẫn

Bài 2.7 trang 52 SGK Toán 11 tập 1 là một bài toán thực tế, yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về hàm số bậc hai để giải quyết một tình huống cụ thể. Dưới đây là lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập này:

Đề bài:

Một người nông dân muốn rào một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 100m². Hỏi người đó cần dùng bao nhiêu mét lưới để rào mảnh đất đó, biết rằng chiều dài của mảnh đất lớn hơn chiều rộng và phải sử dụng ít lưới nhất?

Lời giải:

1. Đặt ẩn và thiết lập hàm số:

• Gọi chiều dài của mảnh đất là x (m) và chiều rộng là y (m).
• Điều kiện: x > 0, y > 0.
• Diện tích mảnh đất: xy = 100.
• Chu vi mảnh đất (lượng lưới cần dùng): P = 2(x + y).

Từ xy = 100, ta có y = 100/x. Thay vào công thức tính chu vi, ta được:

P(x) = 2(x + 100/x)

2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

Để tìm giá trị nhỏ nhất của P(x), ta xét đạo hàm của hàm số:

P'(x) = 2(1 - 100/x²)

Giải phương trình P'(x) = 0, ta được:

1 - 100/x² = 0 => x² = 100 => x = 10 (do x > 0)

Kiểm tra dấu của P'(x):

• Với 0 < x < 10, P'(x) < 0 (hàm số nghịch biến).
• Với x > 10, P'(x) > 0 (hàm số đồng biến).

Vậy, hàm số P(x) đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 10.

3. Tính giá trị nhỏ nhất của chu vi:

Khi x = 10, ta có y = 100/10 = 10.

Chu vi nhỏ nhất là: P(10) = 2(10 + 10) = 40 (m).

Kết luận:

Người nông dân cần dùng ít nhất 40 mét lưới để rào mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 100m², khi mảnh đất đó là hình vuông có cạnh 10m.

Lưu ý:

Bài toán này là một ví dụ điển hình về việc ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trong thực tế. Việc hiểu rõ các bước giải và vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học là rất quan trọng để giải quyết các bài toán tương tự.

Các bài tập tương tự:

• Bài 2.8 trang 52 SGK Toán 11 tập 1
• Bài 2.9 trang 53 SGK Toán 11 tập 1

tusach.vn hy vọng với lời giải chi tiết này, các bạn học sinh sẽ hiểu rõ hơn về Bài 2.7 trang 52 SGK Toán 11 tập 1 và có thể tự tin giải các bài tập tương tự. Chúc các bạn học tốt!