Bài 5. Phương trình và bất phương trình lôgarit

Bài 5: Phương trình và Bất phương trình Lôgarit - Tổng quan và Phương pháp giải

Bài 5 trong chương trình Toán 12 tập trung vào việc giải quyết các phương trình và bất phương trình chứa lôgarit. Đây là một phần kiến thức quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi THPT Quốc gia. Để nắm vững nội dung này, chúng ta cần hiểu rõ các khái niệm cơ bản, tính chất của lôgarit và các phương pháp giải phổ biến.

I. Kiến thức nền tảng về Lôgarit

Trước khi đi vào giải phương trình và bất phương trình, hãy cùng ôn lại một số kiến thức cơ bản về lôgarit:

• Định nghĩa: log_ab = x ⇔ a^x = b (với a > 0, a ≠ 1, b > 0)
• Tính chất:
  • log_a(b.c) = log_ab + log_ac
  • log_a(b/c) = log_ab - log_ac
  • log_abⁿ = n.log_ab
  • log_aa = 1
  • log_a1 = 0
• Đổi cơ số: log_ab = log_cb / log_ca

II. Giải phương trình Lôgarit

Để giải phương trình lôgarit, chúng ta thường sử dụng các phương pháp sau:

1. Đưa về cùng cơ số: Nếu các biểu thức trong phương trình có cùng cơ số, ta có thể áp dụng các tính chất của lôgarit để đơn giản hóa phương trình.
2. Sử dụng đổi cơ số: Khi các biểu thức có cơ số khác nhau, ta có thể sử dụng công thức đổi cơ số để đưa về cùng cơ số.
3. Biến đổi phương trình: Sử dụng các phép biến đổi đại số để đưa phương trình về dạng đơn giản hơn, sau đó giải phương trình kết quả.
4. Kiểm tra điều kiện: Sau khi tìm được nghiệm, cần kiểm tra xem nghiệm đó có thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình hay không.

III. Giải bất phương trình Lôgarit

Giải bất phương trình lôgarit tương tự như giải phương trình lôgarit, nhưng cần chú ý đến các trường hợp sau:

• Khi cơ số a > 1: Bất phương trình log_af(x) > log_ag(x) tương đương với f(x) > g(x)
• Khi cơ số 0 < a < 1: Bất phương trình log_af(x) > log_ag(x) tương đương với f(x) < g(x)

IV. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình log₂(x + 1) = 3

Giải:

x + 1 = 2³

x + 1 = 8

x = 7

Kiểm tra: x = 7 thỏa mãn điều kiện x + 1 > 0.

Ví dụ 2: Giải bất phương trình log_1/2(2x - 1) > 1

Giải:

2x - 1 < (1/2)¹

2x - 1 < 1/2

2x < 3/2

x < 3/4

Kiểm tra: x < 3/4 thỏa mãn điều kiện 2x - 1 > 0.

V. Luyện tập và Bài tập nâng cao

Để củng cố kiến thức, các bạn nên luyện tập thêm các bài tập khác nhau. Dưới đây là một số dạng bài tập thường gặp:

• Giải phương trình lôgarit cơ bản
• Giải phương trình lôgarit nâng cao (sử dụng phép đặt ẩn phụ)
• Giải bất phương trình lôgarit cơ bản
• Giải bất phương trình lôgarit nâng cao

Chúc các bạn học tốt và đạt kết quả cao trong các kỳ thi sắp tới!