Bài 1.17 trang 19 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Tổng quan nội dung

Bài 1.17 trang 19 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Bài 1.17 thuộc chương trình Toán 11 tập 1, tập trung vào việc nghiên cứu hàm số bậc hai và đồ thị parabol. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về định nghĩa, tính chất của hàm số bậc hai để xác định các yếu tố của parabol và vẽ đồ thị.

tusach.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập Toán 11 hiệu quả.

Chứng minh các đẳng thức sau (giả sử các biểu thức đều có nghĩa):

Đề bài

Chứng minh các đẳng thức sau (giả sử các biểu thức đều có nghĩa):

a) \({\cos ^4}\alpha - {\sin ^4}\alpha = \cos 2\alpha ;\)

b) \(\sin \left( {a + b} \right)\sin \left( {a - b} \right) = {\cos ^2}b - {\cos ^2}a;\)

c) \(\frac{{\sin a + \sin 2a}}{{1 + \cos a + \cos 2a}} = \tan a.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết Bài 1.17 trang 19 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá 1

Biến đổi vế trái (thường là vế phức tạp hơn) thành vế phải (thường là vế đơn giản hơn).

Áp dụng công thức nhân đôi, công thức biến tích thành tổng.

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}{\cos ^4}\alpha - {\sin ^4}\alpha = {\left( {{{\cos }^2}\alpha } \right)^2} - {\left( {{{\sin }^2}\alpha } \right)^2}\\ = \left( {{{\cos }^2}\alpha - {{\sin }^2}\alpha } \right)\left( {{{\cos }^2}\alpha + {{\sin }^2}\alpha } \right)\\ = \cos 2\alpha .1 = \cos 2\alpha \end{array}\)

\(\begin{array}{l}\sin \left( {a + b} \right)\sin \left( {a - b} \right) = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b - a + b} \right) - \cos \left( {a + b + a - b} \right)} \right]\\ = \frac{1}{2}\left( {\cos 2b - \cos 2a} \right) = \frac{1}{2}\left( {2{{\cos }^2}b - 1 - 2{{\cos }^2}a + 1} \right)\\ = \frac{1}{2}\left( {2{{\cos }^2}b - 2{{\cos }^2}a} \right) = {\cos ^2}b - {\cos ^2}a\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\frac{{\sin a + \sin 2a}}{{1 + \cos a + \cos 2a}} = \frac{{\sin a + 2\sin a\cos a}}{{1 + \cos a + 2{{\cos }^2}a - 1}}\\ = \frac{{\sin a\left( {1 + 2\cos a} \right)}}{{\cos a + 2{{\cos }^2}a}} = \frac{{\sin a\left( {1 + 2\cos a} \right)}}{{\cos a\left( {1 + 2\cos a} \right)}}\\ = \frac{{\sin a}}{{\cos a}} = \tan a\end{array}\)

Bài 1.17 trang 19 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá: Giải chi tiết và hướng dẫn

Bài 1.17 trang 19 SGK Toán 11 tập 1 yêu cầu chúng ta xét hàm số bậc hai và xác định các yếu tố quan trọng của nó. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về hàm số bậc hai, bao gồm:

Định nghĩa hàm số bậc hai: Hàm số có dạng y = ax² + bx + c, với a ≠ 0.
Hệ số a: Xác định chiều mở của parabol (a > 0: mở lên, a < 0: mở xuống).
Đỉnh của parabol: I(x₀; y₀), với x₀ = -b/2a và y₀ = f(x₀).
Trục đối xứng của parabol: Đường thẳng x = x₀.
Giao điểm với trục Oy: A(0; c).
Giao điểm với trục Ox: Giải phương trình ax² + bx + c = 0 để tìm hoành độ giao điểm.

Giải chi tiết Bài 1.17 trang 19 SGK Toán 11 tập 1

Để minh họa, chúng ta sẽ xét một ví dụ cụ thể. Giả sử hàm số được cho là y = x² - 4x + 3.

Xác định hệ số a, b, c: a = 1, b = -4, c = 3.
Xác định đỉnh của parabol: x₀ = -(-4)/(2*1) = 2; y₀ = 2² - 4*2 + 3 = -1. Vậy đỉnh của parabol là I(2; -1).
Xác định trục đối xứng: x = 2.
Xác định giao điểm với trục Oy: A(0; 3).
Xác định giao điểm với trục Ox: Giải phương trình x² - 4x + 3 = 0. Ta có nghiệm x₁ = 1 và x₂ = 3. Vậy giao điểm với trục Ox là B(1; 0) và C(3; 0).

Vẽ đồ thị hàm số

Dựa vào các yếu tố đã xác định, chúng ta có thể vẽ đồ thị hàm số y = x² - 4x + 3. Đồ thị là một parabol có đỉnh I(2; -1), mở lên, trục đối xứng x = 2, đi qua các điểm A(0; 3), B(1; 0) và C(3; 0).

Lưu ý quan trọng

Khi giải các bài tập về hàm số bậc hai, cần chú ý:

Kiểm tra kỹ các hệ số a, b, c.
Sử dụng công thức tính đỉnh và trục đối xứng một cách chính xác.
Giải phương trình bậc hai để tìm giao điểm với trục Ox.
Vẽ đồ thị một cách cẩn thận, đảm bảo tính chính xác.

Bài tập tương tự

Để rèn luyện thêm kỹ năng, bạn có thể thử giải các bài tập tương tự với các hàm số bậc hai khác. Ví dụ:

y = 2x² + 5x - 3
y = -x² + 2x + 1

Kết luận

Bài 1.17 trang 19 SGK Toán 11 tập 1 là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu rõ hơn về hàm số bậc hai và đồ thị parabol. Bằng cách nắm vững các kiến thức cơ bản và rèn luyện kỹ năng giải bài tập, bạn sẽ có thể tự tin giải quyết các bài toán tương tự trong tương lai.

Chúc bạn học tập tốt!