Lý Thuyết Các Phép Biến Đổi Lượng Giác - Toán 11 - SGK

Lý thuyết Các phép biến đổi lượng giác - SGK Toán 11 Cùng khám phá

Lý thuyết Các phép biến đổi lượng giác - Toán 11

Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Các phép biến đổi lượng giác trong chương trình Toán 11. Bài học này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức nền tảng và quan trọng nhất về các phép biến đổi lượng giác, giúp bạn giải quyết các bài toán một cách hiệu quả.

Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về các công thức biến đổi lượng giác cơ bản, cách áp dụng chúng vào giải toán và các bài tập ví dụ minh họa.

1. Công thức cộng

1. Công thức cộng

\(\begin{array}{l}\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \cos asinb\\sin\left( {a - b} \right) = \sin a\cos b - \cos asinb\\\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b - \sin asinb\\\cos \left( {a - b} \right) = \cos a\cos b + \sin asinb\\\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}}\\\tan \left( {a - b} \right) = \frac{{\tan a - \tan b}}{{1 + \tan a\tan b}}\end{array}\)

2. Công thức nhân đôi

\(\begin{array}{l}\sin 2a = 2\sin a\cos a\\\cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a = 2{\cos ^2}a - 1 = 1 - 2{\sin ^2}a\\\tan 2a = \frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}}\end{array}\)

Suy ra, công thức hạ bậc:

\({\sin ^2}a = \frac{{1 - \cos 2a}}{2},{\cos ^2}a = \frac{{1 + \cos 2a}}{2}\)

3. Công thức biến đổi tích thành tổng

\(\begin{array}{l}\cos a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a - b} \right)} \right]\\\sin a\sin b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a - b} \right) - \cos \left( {a + b} \right)} \right]\\\sin a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {a - b} \right)} \right]\end{array}\)

4. Công thức biến đổi tổng thành tích

\(\begin{array}{l}\cos a + \cos b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}\cos \frac{{a - b}}{2}\\\cos a - \cos b = - 2\sin \frac{{a + b}}{2}\sin \frac{{a - b}}{2}\\\sin a + \sin b = 2\sin \frac{{a + b}}{2}\cos \frac{{a - b}}{2}\\\sin a - \sin b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}\sin \frac{{a - b}}{2}\end{array}\)

Lý Thuyết Các Phép Biến Đổi Lượng Giác - Toán 11: Tổng Quan và Ứng Dụng

Các phép biến đổi lượng giác đóng vai trò then chốt trong chương trình Toán 11, đặc biệt là trong việc giải các phương trình lượng giác, chứng minh đẳng thức và đơn giản hóa biểu thức. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn toàn diện về lý thuyết này, bao gồm các công thức quan trọng, ví dụ minh họa và hướng dẫn giải bài tập.

1. Các Công Thức Biến Đổi Lượng Giác Cơ Bản

Để nắm vững các phép biến đổi lượng giác, bạn cần thuộc lòng và hiểu rõ các công thức sau:

Công thức cộng và hiệu góc:
- sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
- sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)
- cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)
- cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)
- tan(a + b) = (tan(a) + tan(b)) / (1 - tan(a)tan(b))
- tan(a - b) = (tan(a) - tan(b)) / (1 + tan(a)tan(b))
Công thức nhân đôi:
- sin(2a) = 2sin(a)cos(a)
- cos(2a) = cos²(a) - sin²(a) = 2cos²(a) - 1 = 1 - 2sin²(a)
- tan(2a) = (2tan(a)) / (1 - tan²(a))
Công thức hạ bậc:
- sin²(a) = (1 - cos(2a)) / 2
- cos²(a) = (1 + cos(2a)) / 2
- tan²(a) = (1 - cos(2a)) / (1 + cos(2a))

2. Ứng Dụng của Các Phép Biến Đổi Lượng Giác

Các công thức trên được sử dụng rộng rãi trong các bài toán sau:

Chứng minh đẳng thức lượng giác: Sử dụng các công thức biến đổi để đưa về hai vế tương đương.
Giải phương trình lượng giác: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản để tìm nghiệm.
Tính giá trị lượng giác của góc đặc biệt: Sử dụng các công thức để tính giá trị của sin, cos, tan của các góc không thuộc bảng giá trị lượng giác.
Đơn giản hóa biểu thức lượng giác: Sử dụng các công thức để rút gọn biểu thức, giúp dễ dàng tính toán và phân tích.

3. Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ 1: Chứng minh rằng sin(a + b)sin(a - b) = sin²(a) - sin²(b)

Giải:

sin(a + b)sin(a - b) = (sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b))(sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b))

= sin²(a)cos²(b) - cos²(a)sin²(b)

= sin²(a)(1 - sin²(b)) - (1 - sin²(a))sin²(b)

= sin²(a) - sin²(a)sin²(b) - sin²(b) + sin²(a)sin²(b)

= sin²(a) - sin²(b)

4. Luyện Tập và Củng Cố Kiến Thức

Để nắm vững lý thuyết và kỹ năng giải bài tập về các phép biến đổi lượng giác, bạn nên:

Làm đầy đủ các bài tập trong SGK Toán 11.
Tìm kiếm các bài tập nâng cao trên internet hoặc trong các sách tham khảo.
Thường xuyên ôn tập và củng cố kiến thức.

Chúc bạn học tốt!

Lý thuyết Các phép biến đổi lượng giác - SGK Toán 11 Cùng khám phá