Bài 7.1 trang 37 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Bài 7.1 trang 37 SGK Toán 11 tập 2 thuộc chương trình học Toán 11, tập trung vào việc ôn tập về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức đã học để giải quyết các bài toán thực tế.

tusach.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.

Tính đạo hàm của hàm số của hàm số f(x) tại điểm \({x_0}\) với:

Đề bài

Tính đạo hàm của hàm số của hàm số f(x) tại điểm \({x_0}\) với:

a, \(f(x) = {x^3} - x\) tại \({x_0} = 1\)

b, \(f(x) = \frac{{3x + 2}}{x}\) tại \({x_0} = 2\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết Bài 7.1 trang 37 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá 1

Dựa vào định nghĩa để tính đạo hàm của hàm số

Lời giải chi tiết

a, Ta có: \(f'(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} - x - 0}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x.(x - 1).(x + 1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} x(x + 1) = 2\)

Vậy \(f'(1) = 2\)

b, Ta có: \(f'(2) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\frac{{3x + 2}}{x} - 4}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2 - x}}{{x.(x - 2)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{ - 1}}{x} = \frac{{ - 1}}{2}\)

Vậy \(f'(2) = \frac{{ - 1}}{2}\).

Bài 7.1 trang 37 SGK Toán 11 tập 2 - Giải chi tiết và hướng dẫn

Bài 7.1 trang 37 SGK Toán 11 tập 2 yêu cầu học sinh giải một bài toán thực tế liên quan đến việc tìm đạo hàm và ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số. Để giải bài toán này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức sau:

Đạo hàm của hàm số: Định nghĩa, các quy tắc tính đạo hàm (đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương, hàm hợp).
Ứng dụng của đạo hàm: Tìm cực trị của hàm số, khảo sát sự biến thiên của hàm số.

Nội dung bài toán

Bài toán cụ thể thường liên quan đến một hàm số được cho trước, yêu cầu học sinh:

Tính đạo hàm của hàm số.
Tìm các điểm cực trị của hàm số.
Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Vẽ đồ thị hàm số (nếu cần).

Lời giải chi tiết

Để giải bài 7.1 trang 37 SGK Toán 11 tập 2, chúng ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính đạo hàm f'(x) của hàm số f(x). Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm đã học để tìm đạo hàm của hàm số.
Bước 2: Tìm các điểm cực trị. Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm nghiệm. Các điểm nghiệm này là các điểm cực trị của hàm số.
Bước 3: Xác định loại cực trị. Sử dụng dấu của đạo hàm cấp hai f''(x) hoặc xét dấu của f'(x) xung quanh các điểm cực trị để xác định xem đó là điểm cực đại hay cực tiểu.
Bước 4: Khảo sát sự biến thiên của hàm số. Dựa vào dấu của đạo hàm f'(x) để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Bước 5: Vẽ đồ thị hàm số (nếu cần). Sử dụng các thông tin đã tìm được để vẽ đồ thị hàm số.

Ví dụ minh họa

Giả sử hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2. Ta thực hiện các bước sau:

f'(x) = 3x² - 6x
3x² - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2
f''(x) = 6x - 6
f''(0) = -6 < 0 => x = 0 là điểm cực đại
f''(2) = 6 > 0 => x = 2 là điểm cực tiểu
Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞, 0) và (2, +∞), nghịch biến trên khoảng (0, 2).

Lưu ý quan trọng

Khi giải bài tập về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm, cần chú ý:

Nắm vững các quy tắc tính đạo hàm.
Hiểu rõ ý nghĩa của đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Kiểm tra lại kết quả sau khi giải bài tập.

Bài tập tương tự

Để củng cố kiến thức, bạn có thể làm thêm các bài tập tương tự trong SGK Toán 11 tập 2 và các tài liệu tham khảo khác.

Tổng kết

Bài 7.1 trang 37 SGK Toán 11 tập 2 là một bài tập quan trọng giúp học sinh ôn tập và củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm. Việc nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập này sẽ giúp học sinh học tốt môn Toán 11.

Bài 7.1 trang 37 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá