Bài 3. Hàm số liên tục

Bài 3: Hàm số liên tục - Lý thuyết và Bài tập

Hàm số liên tục là một khái niệm cơ bản và quan trọng trong giải tích. Nó mô tả tính chất 'mượt mà' của một hàm số, nghĩa là đồ thị của hàm số không bị đứt gãy hay có 'lỗ hổng'. Hiểu rõ về hàm số liên tục là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán trong giải tích, đặc biệt là các bài toán về giới hạn, đạo hàm và tích phân.

1. Định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm

Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x₀ nếu thỏa mãn ba điều kiện sau:

1. f(x₀) xác định (tức là x₀ thuộc tập xác định của f(x)).
2. lim_x→x0 f(x) tồn tại (tức là giới hạn của f(x) khi x tiến tới x₀ là một số thực xác định).
3. lim_x→x0 f(x) = f(x₀) (tức là giới hạn của f(x) khi x tiến tới x₀ bằng giá trị của hàm số tại x₀).

2. Định nghĩa hàm số liên tục trên một khoảng

Hàm số f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a, b) nếu nó liên tục tại mọi điểm trong khoảng (a, b).

3. Các tính chất của hàm số liên tục

• Tổng, hiệu, tích của các hàm số liên tục là một hàm số liên tục.
• Thương của hai hàm số liên tục (với mẫu số khác 0) là một hàm số liên tục.
• Hàm hợp của các hàm số liên tục là một hàm số liên tục.

4. Ví dụ minh họa

Xét hàm số f(x) = x². Hàm số này liên tục tại mọi điểm trên tập số thực. Để chứng minh điều này, ta cần kiểm tra ba điều kiện của định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm. Trong trường hợp này, việc kiểm tra trở nên đơn giản vì hàm số là một đa thức.

5. Bài tập áp dụng

Bài 1: Xét hàm số f(x) = 1/(x-2). Hàm số này có liên tục tại điểm x = 2 không? Tại sao?

Bài 2: Tìm các điểm gián đoạn của hàm số f(x) = {x², nếu x < 1; 2x - 1, nếu x ≥ 1}.

6. Ứng dụng của hàm số liên tục

Khái niệm hàm số liên tục có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ:

• Trong vật lý: mô tả chuyển động liên tục của một vật thể.
• Trong kinh tế: mô tả sự thay đổi liên tục của giá cả và sản lượng.
• Trong kỹ thuật: mô tả các quá trình điều khiển liên tục.

7. Mở rộng kiến thức

Để hiểu sâu hơn về hàm số liên tục, bạn có thể tìm hiểu thêm về:

• Các loại hàm số liên tục (hàm số đa thức, hàm số lượng giác, hàm số mũ, hàm số logarit).
• Định lý về giá trị trung gian.
• Đạo hàm và liên tục.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về hàm số liên tục. Chúc bạn học tập tốt!