Bài 7.6 trang 45 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Bài 7.6 trang 45 SGK Toán 11 tập 2: Cùng khám phá

Bài 7.6 trang 45 SGK Toán 11 tập 2 thuộc chương trình học Toán 11, tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng giải các bài toán liên quan đến đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Bài tập này giúp học sinh củng cố kiến thức đã học và phát triển tư duy logic, khả năng giải quyết vấn đề.

tusach.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 7.6 trang 45 SGK Toán 11 tập 2, giúp các em học sinh tự học hiệu quả và đạt kết quả tốt nhất.

Tính đạo hàm các hàm số sau:

Đề bài

Tính đạo hàm các hàm số sau:

a) \(y = {x^4} + 3{x^3} - 2\sqrt x \).

b) \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}\).

c) \(y = ({x^2} + 1).\cot x\).

d) \(y = {e^x}.{\log _2}x\).

e) \(y = \sqrt {{2^x} + 1} \).

Phương pháp giải - Xem chi tiết Bài 7.6 trang 45 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá 1

a) Sử dụng công thức \({({x^n})'} = n.{x^{n - 1}}\), \({(\sqrt x )'} = \frac{1}{{2\sqrt x }}\).

b) Sử dụng quy tắc \({(\frac{u}{v})'} = \frac{{{u'}.v - u.{v'}}}{{{v^2}}}\).

c) Sử dụng quy tắc \({(u.v)'} = {u'}v + u.{v'}\).

d) Sử dụng quy tắc \({(u.v)'} = {u'}v + u.{v'}\).

e) Sử dụng đạo hàm của hàm hợp \({(\sqrt u )'} = \frac{{{u'}}}{{2\sqrt u }}\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(y' = ({x^4} + 3{x^3} - 2\sqrt x )' = 4{x^3} + 9{x^2} - \frac{1}{{\sqrt x }}\).

b) Ta có: \(y' = (\frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}})' = \frac{{({x^2} + 2x + 2)'.(x + 1) - ({x^2} + 2x + 2).(x + 1)'}}{{{{(x + 1)}^2}}}\)

\(\frac{{(2x + 2).(x + 1) - ({x^2} + 2x + 2)}}{{{{(x + 1)}^2}}} = \frac{{2.({x^2} + 2x + 1) - ({x^2} + 2x + 2)}}{{{{(x + 1)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{(x + 1)}^2}}}\).

c) Ta có: \(y' = {\rm{[}}({x^2} + 1).\cot x{\rm{]'}} = ({x^2} + 1)'.\cot x + ({x^2} + 1).(\cot x)'\)

\( = 2x.\cot x + ({x^2} + 1).\frac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}x}}\).

d) Ta có: \(y' = ({e^x}.{\log _2}x)' = ({e^x})'.{\log _2}x + {e^x}.({\log _2}x)' = {e^x}.{\log _2}x + {e^x}.\frac{1}{{x.\ln 2}}\).

e) Ta có: \(y' = (\sqrt {{2^x} + 1} )' = \frac{{({2^x} + 1)'}}{{2\sqrt {{2^x} + 1} }} = \frac{{{2^x}.\ln 2}}{{2\sqrt {{2^x} + 1} }}\).

Bài 7.6 trang 45 SGK Toán 11 tập 2: Giải chi tiết và hướng dẫn

Bài 7.6 trang 45 SGK Toán 11 tập 2 yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, các em cần nắm vững các khái niệm cơ bản về đạo hàm, quy tắc tính đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc tìm cực trị, khoảng đơn điệu của hàm số.

Nội dung bài tập 7.6 trang 45 SGK Toán 11 tập 2

Bài tập 7.6 thường xoay quanh việc khảo sát hàm số bậc ba hoặc bậc bốn. Cụ thể, bài tập có thể yêu cầu:

Tìm đạo hàm bậc nhất và đạo hàm bậc hai của hàm số.
Xác định các điểm cực trị của hàm số.
Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.
Vẽ đồ thị hàm số.

Hướng dẫn giải bài 7.6 trang 45 SGK Toán 11 tập 2

Bước 1: Tính đạo hàm bậc nhất (y'). Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm đã học để tìm y'.
Bước 2: Tìm các điểm cực trị. Giải phương trình y' = 0 để tìm các giá trị x mà tại đó hàm số có thể đạt cực trị. Sau đó, kiểm tra dấu của y' để xác định loại cực trị (cực đại hoặc cực tiểu).
Bước 3: Tính đạo hàm bậc hai (y''). Sử dụng quy tắc tính đạo hàm để tìm y''.
Bước 4: Xác định khoảng lồi và lõm. Giải phương trình y'' = 0 để tìm các điểm uốn của hàm số. Sau đó, kiểm tra dấu của y'' để xác định khoảng lồi và lõm của hàm số.
Bước 5: Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến. Dựa vào dấu của y', xác định khoảng đồng biến (y' > 0) và khoảng nghịch biến (y' < 0) của hàm số.
Bước 6: Vẽ đồ thị hàm số. Sử dụng các thông tin đã tìm được (cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến, khoảng lồi, lõm) để vẽ đồ thị hàm số.

Ví dụ minh họa

Giả sử hàm số cần khảo sát là: y = x³ - 3x² + 2

Bước 1: y' = 3x² - 6x

Bước 2: Giải phương trình 3x² - 6x = 0, ta được x = 0 và x = 2. Kiểm tra dấu của y', ta thấy:

x < 0: y' > 0 (hàm số đồng biến)
0 < x < 2: y' < 0 (hàm số nghịch biến)
x > 2: y' > 0 (hàm số đồng biến)

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 0 và cực tiểu tại x = 2.

Bước 3: y'' = 6x - 6

Bước 4: Giải phương trình 6x - 6 = 0, ta được x = 1. Kiểm tra dấu của y'', ta thấy:

x < 1: y'' < 0 (hàm số lõm)
x > 1: y'' > 0 (hàm số lồi)

Vậy hàm số có điểm uốn tại x = 1.

Lưu ý khi giải bài tập 7.6

Nắm vững các quy tắc tính đạo hàm.
Kiểm tra kỹ dấu của đạo hàm để xác định đúng loại cực trị và khoảng đồng biến, nghịch biến.
Vẽ đồ thị hàm số để kiểm tra lại kết quả.

tusach.vn hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các em học sinh sẽ tự tin giải quyết Bài 7.6 trang 45 SGK Toán 11 tập 2 và các bài tập tương tự. Chúc các em học tập tốt!

Bài 7.6 trang 45 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá