A. Lý thuyết
1. Khái niệm logarit
a) Định nghĩa
Cho hai số thực dương a, b và a khác 1. Số thực \(\alpha \) thỏa mãn đẳng thức \({a^\alpha } = b\) được gọi là logarit cơ số a của b, kí hiệu \({\log _a}b\), nghĩa là \(\alpha = {\log _a}b \Leftrightarrow {a^\alpha } = b\). |
Lưu ý:
- Không tồn tại logarit của số âm và số 0.
- Logarit cơ số 10 của một số dương b là logarit thập phân của b, ký hiệu logb hay lgb.
- Logarit cơ số e của một số dương b là logarit tự nhiên (hay logarit Nê-pe) của b, ký hiệu lnb.
b) Tính chất
Cho a là một số dương khác 1, b là một số dương và số thực \(\alpha \). +) \({\log _a}1 = 0\) +) \({\log _a}a = 1\) +) \({a^{{{\log }_a}b}} = b\) +) \({\log _a}({a^\alpha }) = \alpha \) |
2. Quy tắc tính logarit
a) Logarit của một tích và logarit của một thương
Cho ba số dương a, \({b_1}\), \({b_2}\) và \(a \ne 1\). Khi đó: +) \({\log _a}({b_1}{b_2}) = {\log _a}{b_1} + {\log _a}{b_2}\) +) \({\log _a}\left( {\frac{{{b_1}}}{{{b_2}}}} \right) = {\log _a}{b_1} - {\log _a}{b_2}\) |
Lưu ý: \({\log _a}\frac{1}{b} = - {\log _a}b\).
b) Logarit của một lũy thừa
Cho hai số dương a, b với \(a \ne 1\). Với mọi \(\alpha \), ta có: \({\log _\alpha }{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b\). |
Lưu ý : \({\log _a}\sqrt[n]{b} = \frac{1}{n}{\log _a}b\) \((n \in \mathbb{N},n \ge 2)\).
c) Đổi cơ số
Cho ba số thực dương a, b, c với \(a \ne 1\). Khi đó: \({\log _a}b = \frac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}\) hay \({\log _c}b = {\log _c}a{\log _a}b\). |
Lưu ý:
- Với a, b là hai số thực dương khác 1, ta có \({\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}}\) hay \({\log _a}b.{\log _b}a = 1\).
- Với a là một số dương khác 1, b là số thực dương và \(\alpha \ne 0\), ta có \({\log _{{a^\alpha }}} = \frac{1}{\alpha }{\log _a}b\).
3. Một số ứng dụng trong thực tế
a) Độ mạnh của động đất
\(R = \log \frac{A}{{{A_0}}}\) (độ Richter).
b) Độ pH trong hóa học
\(pH = - \log [{H^ + }]\).
B. Bài tập
Bài 1: Tính:
a) \({\log _2}8\).
b) \({\log _{\frac{1}{2}}}4\).
c) \({\log _3}\frac{1}{{27}}\).
Giải:
a) \({\log _2}8 = 3\) vì \({2^3} = 8\).
b) \({\log _{\frac{1}{2}}}4 = - 2\) vì \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 2}} = 4\).
c) \({\log _3}\frac{1}{{27}} = - 3\) vì \({3^{ - 3}} = \frac{1}{{27}}\).
Bài 2: Tính:
a) \({3^{2{{\log }_3}5}}\).
b) \({\log _{\frac{1}{2}}}\sqrt {\frac{1}{8}} \).
Giải:
a) \({3^{2{{\log }_3}5}} = {({3^{{{\log }_3}5}})^2} = {5^2} = 25\).
b) \({\log _{\frac{1}{2}}}\sqrt {\frac{1}{8}} = {\log _{\frac{1}{2}}}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{3}{2}}} = \frac{3}{2}\).
Bài 3: Không sử dụng máy tính cầm tay, tính các giá trị biểu thức sau:
a) \(A = {\log _6}3 + {\log _6}12\).
b) \(B = {\log _7}21 - {\log _7}147\).
Giải:
a) \(A = {\log _6}3 + {\log _6}12 = {\log _6}(3.12) = {\log _6}(36) = 2\).
b) \(B = {\log _7}21 - {\log _7}147 = {\log _7}\frac{{21}}{{147}} = {\log _7}\frac{1}{7} = {\log _7}{7^{ - 1}} = - 1\).
Bài 4: Cho \(a = {\log _3}x\); \(b = {\log _3}y\); \(c = {\log _3}z\). Tính \({\log _3}\left( {\frac{{\sqrt[3]{x}}}{{{y^2}.{z^4}}}} \right)\) theo a, b, c.
Giải:
\({\log _3}\left( {\frac{{\sqrt[3]{x}}}{{{y^2}.{z^4}}}} \right) = {\log _3}\sqrt[3]{x} - ({\log _3}{y^2} + {\log _3}{z^4}) = \frac{1}{3}{\log _3}x - (2{\log _3}y + 4{\log _3}z) = \frac{1}{3}a - 2b - 4c\).
Bài 5:
a) Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức \({\log _{\frac{1}{4}}}({\log _3}4.{\log _2}3)\).
b) Cho \(\alpha = {\log _3}45\). Tính \({\log _{45}}5\) theo a.
Giải:
a) \({\log _{\frac{1}{4}}}({\log _3}4.{\log _2}3) = {\log _{\frac{1}{4}}}(2{\log _3}2.{\log _2}3) = {\log _{\frac{1}{4}}}2 = {\log _{{2^{ - 2}}}}2 = - \frac{1}{2}\).
b) Ta có \(\alpha = {\log _3}45 = {\log _3}({3^2}.5) = 2{\log _3}3 + {\log _3}5 = 2 + {\log _3}5\).
Suy ra \({\log _3}5 = \alpha - 2\). Vậy \({\log _{45}}5 = \frac{{{{\log }_3}5}}{{{{\log }_3}45}} = \frac{{\alpha - 2}}{\alpha }\).
