Bài 1. Giới hạn của dãy số

Bài 1. Giới hạn của dãy số - Tổng quan

Trong chương trình Toán lớp 10, Bài 1. Giới hạn của dãy số đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng nền tảng cho các kiến thức nâng cao hơn về giải tích. Bài học này tập trung vào việc làm quen với khái niệm giới hạn, hiểu được ý nghĩa và cách xác định giới hạn của một dãy số.

1. Khái niệm giới hạn của dãy số

Một dãy số (u_n) được gọi là có giới hạn hữu hạn L nếu với mọi số dương ε (epsilon) nhỏ tùy ý, tồn tại một số tự nhiên N sao cho với mọi n > N, ta có |u_n - L| < ε. Ký hiệu: lim_n→∞ u_n = L.

Nói một cách dễ hiểu, dãy số (u_n) tiến tới L khi n tiến tới vô cùng, tức là các số hạng của dãy số ngày càng gần L.

2. Các ví dụ minh họa

• Ví dụ 1: Xét dãy số u_n = 1/n. Khi n tiến tới vô cùng, u_n tiến tới 0. Vậy lim_n→∞ 1/n = 0.
• Ví dụ 2: Xét dãy số u_n = n. Khi n tiến tới vô cùng, u_n cũng tiến tới vô cùng. Dãy số này không có giới hạn hữu hạn.
• Ví dụ 3: Xét dãy số u_n = (-1)ⁿ. Dãy số này dao động giữa -1 và 1, không tiến tới một giới hạn cụ thể.

3. Tính chất của giới hạn

Có một số tính chất quan trọng của giới hạn dãy số:

1. Tính duy nhất: Nếu một dãy số có giới hạn, thì giới hạn đó là duy nhất.
2. Tính chất cộng, trừ, nhân: Nếu lim_n→∞ u_n = L₁ và lim_n→∞ v_n = L₂, thì:
   • lim_n→∞ (u_n + v_n) = L₁ + L₂
   • lim_n→∞ (u_n - v_n) = L₁ - L₂
   • lim_n→∞ (u_n * v_n) = L₁ * L₂
3. Tính chất chia: Nếu lim_n→∞ u_n = L₁ và lim_n→∞ v_n = L₂ ≠ 0, thì lim_n→∞ (u_n / v_n) = L₁ / L₂

4. Bài tập vận dụng

Để củng cố kiến thức, hãy giải các bài tập sau:

5. Kết luận

Bài 1. Giới hạn của dãy số là một bước khởi đầu quan trọng trong việc học giải tích. Việc nắm vững khái niệm và các tính chất của giới hạn sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong tương lai. Hãy luyện tập thường xuyên để hiểu sâu hơn về chủ đề này.