Bài 3.19 trang 80 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá
Tổng quan nội dung
Bài 3.19 trang 80 SGK Toán 11 tập 1
Bài 3.19 thuộc chương trình Toán 11 tập 1, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế. Bài tập này yêu cầu học sinh hiểu rõ các quy tắc tính đạo hàm và cách áp dụng chúng vào việc tìm đạo hàm của hàm số.
tusach.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Xét tính liên tục của các hàm số sau đây tại điểm \({x_0}\):
Đề bài
Xét tính liên tục của các hàm số sau đây tại điểm \({x_0}\):
a) \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}}\,\,\,\,\,\,khi\,\,x > 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - \frac{x}{2}\,\,\,\,\,khi\,\,x \le 1\end{array} \right.\) tại \({x_0} = 1\)
b) \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{4 - {x^2}}}{{x - 2}}\,\,\,\,khi\,\,x < 2\\ - 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 2\\1 - 2x\,\,\,\,khi\,\,\,x > 2\end{array} \right.\) tại \({x_0} = 2\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Hàm số liên tục tại \(x = {x_0}\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)
Khử dạng vô định \(\frac{0}{0}\) bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử
Lời giải chi tiết
a) Tập xác định \(D = \mathbb{R}\)
+ Với \({x_0} = 1 \Rightarrow f\left( 1 \right) = - \frac{1}{2}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = \frac{{1 - 2}}{{1 + 1}} = - \frac{1}{2}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} - \frac{x}{2} = - \frac{1}{2}\)
Suy ra, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\) cùng bằng \( - \frac{1}{2}\). Do đó hàm số liên tục tại \({x_0} = 1\)
b) Tập xác định \(D = \mathbb{R}\)
+ Với \({x_0} = 2 \Rightarrow f\left( 2 \right) = - 3\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {1 - 2x} \right) = 1 - 2.2 = - 3\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{4 - {x^2}}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} - \left( {x + 2} \right) = - 4\)
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right)\) vì \( - 3 \ne 4\) do đó hàm số \(y = f\left( x \right)\) không liên tục tại \({x_0} = 2\)
Bài 3.19 Trang 80 SGK Toán 11 Tập 1: Giải Chi Tiết và Hướng Dẫn
Bài 3.19 trang 80 SGK Toán 11 tập 1 là một bài tập quan trọng trong chương trình học, giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của nó. Dưới đây là lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập này, được trình bày một cách dễ hiểu và logic.
Nội dung bài tập:
Bài 3.19 yêu cầu học sinh tìm đạo hàm của các hàm số được cho. Các hàm số này có thể bao gồm các hàm số đơn giản như đa thức, hàm lượng giác, hoặc các hàm số phức tạp hơn được tạo thành từ các hàm số đơn giản thông qua các phép toán cộng, trừ, nhân, chia.
Phương pháp giải:
Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các quy tắc tính đạo hàm cơ bản, bao gồm:
- Đạo hàm của hàm số lũy thừa: (xn)' = nxn-1
- Đạo hàm của hàm số lượng giác: (sin x)' = cos x, (cos x)' = -sin x, (tan x)' = 1/cos2x
- Đạo hàm của hàm số mũ và logarit
- Quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số
- Quy tắc đạo hàm của hàm hợp
Lời giải chi tiết:
Chúng ta sẽ cùng nhau giải từng phần của bài tập. Giả sử bài tập yêu cầu tìm đạo hàm của hàm số f(x) = 2x3 + 3x2 - 5x + 1.
- Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm số lũy thừa, ta có: (2x3)' = 6x2
- Tương tự, (3x2)' = 6x và (-5x)' = -5
- Đạo hàm của hằng số là 0, do đó (1)' = 0
- Vậy, f'(x) = 6x2 + 6x - 5
Ví dụ minh họa khác:
Xét hàm số g(x) = sin(2x). Để tìm đạo hàm của hàm số này, ta cần áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp. Đặt u = 2x, khi đó g(x) = sin(u). Ta có (sin u)' = cos u và (2x)' = 2. Do đó, g'(x) = cos(2x) * 2 = 2cos(2x).
Lưu ý quan trọng:
Khi giải bài tập về đạo hàm, học sinh cần chú ý đến các quy tắc đạo hàm và áp dụng chúng một cách chính xác. Ngoài ra, cần kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính đúng đắn.
Bài tập tương tự:
Để củng cố kiến thức, học sinh có thể tự giải các bài tập tương tự sau:
- Tìm đạo hàm của hàm số h(x) = 4x4 - 7x3 + 2x - 3
- Tìm đạo hàm của hàm số k(x) = cos(3x)
Kết luận:
Bài 3.19 trang 80 SGK Toán 11 tập 1 là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng tính đạo hàm. Bằng cách nắm vững các quy tắc đạo hàm và áp dụng chúng một cách linh hoạt, học sinh có thể tự tin giải quyết các bài tập tương tự và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
| Hàm số | Đạo hàm |
|---|---|
| f(x) = 2x3 + 3x2 - 5x + 1 | f'(x) = 6x2 + 6x - 5 |
| g(x) = sin(2x) | g'(x) = 2cos(2x) |