Bài 4.31 Trang 124 SGK Toán 11 Tập 1

Bài 4.31 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Tổng quan nội dung

Bài 4.31 thuộc chương 3: Hàm số bậc hai của SGK Toán 11 tập 1. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về parabol, đỉnh của parabol, trục đối xứng và các yếu tố khác để giải quyết các bài toán liên quan đến hàm số bậc hai.

tusach.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm nằm trên AA', AB, DC sao cho \(\frac{{AM}}{{AA'}} = \frac{{AN}}{{AB}} = \frac{{DP}}{{DC}} = \frac{1}{3}\).

Đề bài

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm nằm trên AA', AB, DC sao cho \(\frac{{AM}}{{AA'}} = \frac{{AN}}{{AB}} = \frac{{DP}}{{DC}} = \frac{1}{3}\).

a) Chứng minh mặt phẳng (MNP) song song với (A'BC).

b) Gọi Q là giao điểm của AC' với (MNP). Xét vị trí tương đối của MQ và A'C.

Phương pháp giải - Xem chi tiết Bài 4.31 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá 1

a) (P) chứa 2 đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với (Q) thì (P) // (Q).

b) Tìm giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P):

+ Bước 1: Chọn 1 mặt phẳng (Q) chứa a. Tìm giao tuyến d của (P) và (Q)

+ Bước 2: Tìm giao điểm I của a và d. I chính là giao điểm của a và (P).

Lời giải chi tiết

Bài 4.31 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá 2

a) Xét tam giác ABA' có \(\frac{{AM}}{{AA'}} = \frac{{AN}}{{AB}} = \frac{1}{3}\) nên MN // A'B. Suy ra MN // (A'BC) (1)

Xét hình bình hành ABCD có \(\frac{{AN}}{{AB}} = \frac{{DP}}{{DC}} = \frac{1}{3}\) nên NP // BC. Suy ra NP // (A'BC) (2)

Từ (1), (2) suy ra (MNP) // (A'BC)

b) Trong (ABB'A'), gọi E là giao điểm của AB' và MN

Suy ra E là điểm chung của (AB'C') và (MNP). Mà NP // B'C' (cùng // BC)

Qua E kẻ đường thẳng d song song với NP và B'C', cắt EP tại F. Suy ra EF là giao tuyến của (MNP) và (AB'C')

Trong (AB'C'), gọi Q là giao điểm của EF và AC'

Vậy Q là giao điểm của AC' và (MNP)

Trong (ABB'A'), gọi O là giao điểm của A'B và AB'

Xét tam giác ABO có NE // BO nên \(\frac{{AN}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AO}} = \frac{1}{3}\)

Ta có: AA' // CC' (cùng // BB') và AA' = CC' (cùng bằng BB') nên ACC'A' là hình bình hành

Trong (AA'C'C), gọi G là giao điểm của AC' và A'C. Suy ra G là trung điểm của AC' và A'C

Xét tam giác AB'C' có O, G là trung điểm của AB', AC' nên OG // B'C'. Suy ra OG // NQ \( \Rightarrow \frac{{AE}}{{AO}} = \frac{{AQ}}{{AG}} = \frac{1}{3}\)

Xét tam giác AA'G có: \(\frac{{AM}}{{AA'}} = \frac{{AQ}}{{AG}} = \frac{1}{3} \Rightarrow MQ\,{\rm{// }}A'G\) hay MQ // A'C.

Bài 4.31 Trang 124 SGK Toán 11 Tập 1: Giải Chi Tiết và Phân Tích

Bài 4.31 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 là một bài tập quan trọng trong chương Hàm số bậc hai. Bài tập này thường yêu cầu học sinh xác định các yếu tố của parabol, tìm tọa độ đỉnh, trục đối xứng, và vẽ đồ thị hàm số. Việc nắm vững kiến thức về hàm số bậc hai là nền tảng cho các bài học tiếp theo và các ứng dụng thực tế.

Nội dung bài tập 4.31 trang 124 SGK Toán 11 tập 1

Thông thường, bài 4.31 sẽ đưa ra một hàm số bậc hai có dạng y = ax² + bx + c và yêu cầu:

Xác định hệ số a, b, c.
Xác định đỉnh của parabol (x₀, y₀).
Xác định trục đối xứng của parabol.
Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Vẽ đồ thị hàm số.

Phương pháp giải bài tập 4.31 trang 124 SGK Toán 11 tập 1

Xác định hệ số a, b, c: Đây là bước đầu tiên và quan trọng nhất. Học sinh cần xác định chính xác các hệ số này từ phương trình hàm số đã cho.
Tìm tọa độ đỉnh: Sử dụng công thức x₀ = -b/2a để tìm hoành độ đỉnh. Sau đó, thay x₀ vào phương trình hàm số để tìm tung độ đỉnh y₀.
Xác định trục đối xứng: Trục đối xứng của parabol là đường thẳng x = x₀.
Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến:
- Nếu a > 0: Hàm số nghịch biến trên (-∞, x₀) và đồng biến trên (x₀, +∞).
- Nếu a < 0: Hàm số đồng biến trên (-∞, x₀) và nghịch biến trên (x₀, +∞).
Vẽ đồ thị: Vẽ parabol với đỉnh là (x₀, y₀), trục đối xứng là x = x₀, và các điểm đặc biệt (giao điểm với trục Oy, giao điểm với trục Ox nếu có).

Ví dụ minh họa giải bài 4.31 trang 124 SGK Toán 11 tập 1

Bài tập: Cho hàm số y = 2x² - 8x + 6. Hãy xác định đỉnh, trục đối xứng và vẽ đồ thị hàm số.

Giải:

Bước	Thực hiện	Kết quả
1. Xác định a, b, c	a = 2, b = -8, c = 6	a = 2, b = -8, c = 6
2. Tìm tọa độ đỉnh	x₀ = -b/2a = -(-8)/(2*2) = 2	x₀ = 2
	y₀ = 2(2)² - 82 + 6 = -2	y₀ = -2
3. Xác định trục đối xứng	x = x₀ = 2	x = 2
4. Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến	a = 2 > 0, hàm số nghịch biến trên (-∞, 2) và đồng biến trên (2, +∞)	Nghịch biến trên (-∞, 2), Đồng biến trên (2, +∞)

Kết luận: Đỉnh của parabol là (2, -2), trục đối xứng là x = 2, hàm số nghịch biến trên (-∞, 2) và đồng biến trên (2, +∞).

Lưu ý khi giải bài tập 4.31 trang 124 SGK Toán 11 tập 1

Luôn kiểm tra lại các bước tính toán để tránh sai sót.
Nắm vững các công thức liên quan đến hàm số bậc hai.
Thực hành vẽ đồ thị hàm số để hiểu rõ hơn về tính chất của parabol.

tusach.vn hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải bài tập 4.31 trang 124 SGK Toán 11 tập 1 này, các bạn học sinh sẽ tự tin hơn trong việc học tập và giải quyết các bài toán tương tự.