A. Lý thuyết
1. Phương trình logarit cơ bản
Phương trình mũ cơ bản có dạng \({\log _a}x = b\) \((a > 0,a \ne 1)\).
| Phương trình \({\log _a}x = b\) \((a > 0,a \ne 1)\) luôn có nghiệm duy nhất \(x = {a^b}\) với mọi b. |
Lưu ý: Nếu \(b = {\log _a}\alpha \) \((\alpha > 0)\) thì phương trình \({\log _a}x = b\) trở thành \({\log _a}x = {\log _a}\alpha \) với mọi b. Khi đó, phương trình có nghiệm duy nhất \(x = \alpha \). Một cách tổng quát, với a > 0 và \(a \ne 1\) , ta có:
\({\log _a}A = {\log _a}B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A > 0\\B > 0\\A = B\end{array} \right.\).
2. Bất phương trình logarit cơ bản
Bất phương trình mũ cơ bản có dạng \({\log _a}x > b\) hoặc \({\log _a}x \ge b\), \({\log _a}x < b\), \({\log _a}x \le b\) \((a > 0,a \ne 1)\).
Cho bất phương trình \({\log _a}x > b\) \((a > 0,a \ne 1)\): - Nếu a > 1: Ta có \({\log _a}x > b \Leftrightarrow x > {a^b}\). - Nếu 0 < a < 1: Ta có \({\log _a}x > b \Leftrightarrow 0 < x < {a^b}\). |
Lưu ý:
Giải tương tự cho các trường hợp còn lại: \({\log _a}x \ge b\), \({\log _a}x < b\), \({\log _a}x \le b\).
Nếu \(b = {\log _a}\alpha \) \((\alpha > 0)\) thì bất phương trình \({\log _a}x > b\) trở thành \({\log _a}x > {\log _a}\alpha \). Khi đó:
- Nếu a > 1 thì \({\log _a}x > {\log _a}\alpha \Leftrightarrow x > \alpha \).
- Nếu 0 < a < 1 thì \({\log _a}x > {\log _a}\alpha \Leftrightarrow x < \alpha \).
Một cách tổng quát, ta có:
- Khi a > 1 thì \({\log _a}A > {\log _a}B \Leftrightarrow A > B > 0\).
- Khi 0 < a < 1 thì \({\log _a}A > {\log _a}B \Leftrightarrow 0 < A < B\).
B. Bài tập
Bài 1: Giải các phương trình:
a) \({\log _2}(x + 1) = 3\).
b) \(\ln (x + 1) = ln({x^2} - 1)\).
Giải:
a) Điều kiện của phương trình là \(x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > - 1\).
Ta có \({\log _2}(x + 1) = 3 \Leftrightarrow x + 1 = {2^3} \Leftrightarrow x + 1 = 8 \Leftrightarrow x = 7\).
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 7.
b) Điều kiện của phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x + 1 > 0\\{x^2} - 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 1\\\left[ \begin{array}{l}x < - 1\\x > 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 1\).
Ta có \(\ln (x + 1) = ln({x^2} - 1) \Rightarrow x + 1 = {x^2} - 1\).
\(x + 1 = {x^2} - 1 \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 2\end{array} \right.\).
Kết hợp với điều kiện của phương trình, ta loại x = -1 và nhận x = 2.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.
Bài 2: Giải các bất phương trình:
a) \({\log _2}x > 7\).
b) \({\log _{0,5}}(6x + 12) < {\log _{0,5}}({x^2} + 7x + 10)\).
Giải:
a) Vì cơ số 2 lớn hơn 1 nên \({\log _2}x > 7 \Leftrightarrow x > {2^7} \Leftrightarrow x > 128\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \((128; + \infty )\).
b) Điều kiện của bất phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}6x + 12 > 0\\{x^2} + 7x + 10 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 2\\\left[ \begin{array}{l}x < - 5\\x > - 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x > - 2\).
Vì cơ số 0,5 nhỏ hơn 1 nên \({\log _{0,5}}(6x + 12) < {\log _{0,5}}({x^2} + 7x + 10) \Leftrightarrow 6x + 12 > {x^2} + 7x + 10 \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 < 0 \Leftrightarrow - 2 < x < 1\).
Kết hợp điều kiện, ta được tập nghiệm của bất phương trình là \(( - 2;1)\).
