Giải mục 2 trang 17, 18 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Nếu cho b = a trong các công thức:

\(\sin (a + b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b;\)

\(\cos (a + b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b;\)

\(\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}}\)

thì ta thu được các công thức nào?

Phương pháp giải:

Thay b = a vào các công thức trên.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\sin \left( {2a} \right) = \sin a\cos a + \cos a\sin a = 2\sin a\cos a;\\\cos \left( {2a} \right) = \cos a\cos a - \sin a\sin a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a;\\\tan \left( {2a} \right) = \frac{{\tan a + \tan a}}{{1 - \tan a\tan a}} = \frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}}.\end{array}\)

a) Cho \(\cos \alpha = - \frac{1}{4}\) và \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Tính \(\sin 2\alpha \) và \(\tan 2\alpha \).

b) Không dùng máy tính cầm tay, tính \(\cos 112,{5^0}\).

Phương pháp giải:

Áp dụng các hệ thức cơ bản của góc lượng giác, hệ thức giữa các góc lượng giác liên quan và công thức nhân đôi.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: \({\sin ^2}a = 1 - {\cos ^2}a = \frac{{15}}{{16}}\)

Mà \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) nên \(\sin a = \frac{{\sqrt {15} }}{4}\)

\(\sin 2a = 2\sin a\cos a = \frac{{\sqrt {15} }}{4}.\left( { - \frac{1}{4}} \right) = - \frac{{\sqrt {15} }}{{16}}\)

\(\tan 2a = \frac{{\sin 2a}}{{\cos 2a}} = \frac{{\sqrt {15} }}{4}:\left( { - \frac{1}{4}} \right) = - \sqrt {15} \)

b) Ta có: \(\cos {225^0} = \cos \left( {{{45}^0} + {{180}^0}} \right) = - \cos {45^0} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

\({\cos ^2}112,{5^0} = \frac{{1 + \cos {{225}^0}}}{2} = \frac{{1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{2} = \frac{{2 - \sqrt 2 }}{4}\)

\( \Rightarrow \cos 112,{5^0} = - \sqrt {\frac{{2 - \sqrt 2 }}{4}} = - \frac{{\sqrt {2 - \sqrt 2 } }}{2}\)

Một quả bóng golf kể từ lúc được đánh đến lúc chạm mặt đất đã di chuyển được một khoảng cách d (m) theo phương nằm ngang. Biết rằng \(d = \frac{{v_0^2\sin 2\theta }}{g}\), trong đó \({v_0}\) (m/s) là vận tốc ban đầu của quả bóng, g là gia tốc trọng trường và \(\theta \) là góc đánh quả bóng so với phương nằm ngang (nguồn: https://pressbooks.uiowa.edu/clonedbook/chapter/projectile-motion/). Tính giá trị của \(\cos 2\theta \) và \(\sin \theta \) khi \({v_0}\)= 15 m/s, d = 12,5 m, g = 10 m/s² và \({0^0} < \theta < {45^0}\).

Phương pháp giải:

Áp dụng hệ thức cơ bản giữa các góc lượng giác và công thức nhân đôi.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}d = \frac{{v_0^2\sin 2\theta }}{g}\\ \Leftrightarrow 12,5 = \frac{{{{15}^2}.\sin 2\theta }}{{10}}\\ \Rightarrow \sin 2\theta = \frac{5}{9}\end{array}\)

Lại có: \({\cos ^2}2\theta = 1 - {\sin ^2}2\theta = \frac{{56}}{{81}}\)

Mà \({0^0} < \theta < {45^0} \Rightarrow {0^0} < 2\theta < {90^0}\)\( \Rightarrow \cos 2\theta = \frac{{2\sqrt {14} }}{9}\)

\({\sin ^2}\theta = \frac{{1 - \cos 2\theta }}{2} = \frac{{9 - 2\sqrt {14} }}{{18}}\)

Mà \({0^0} < \theta < {45^0}\)\( \Rightarrow \sin \theta = \sqrt {\frac{{9 - 2\sqrt {14} }}{{18}}} \)