Bài 1. Hai đường thẳng vuông góc

Bài 1. Hai Đường Thẳng Vuông Góc - Lý Thuyết và Bài Tập

Chào mừng các em học sinh đến với bài học đầu tiên của chương trình Hình học lớp 10: Bài 1. Hai đường thẳng vuông góc. Bài học này đóng vai trò nền tảng quan trọng trong việc hiểu và vận dụng các kiến thức về đường thẳng, vectơ và góc trong không gian.

1. Điều Kiện Hai Đường Thẳng Vuông Góc

Trong mặt phẳng tọa độ, hai đường thẳng (Δ₁) và (Δ₂) được xem là vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương của chúng bằng 0. Cụ thể:

• (Δ₁): y = ax + b có vectơ chỉ phương u₁ = (1; a)
• (Δ₂): y = a'x + b' có vectơ chỉ phương u₂ = (1; a')
• (Δ₁) ⊥ (Δ₂) ⇔ u₁.u₂ = 0 ⇔ 1 + aa' = 0 ⇔ aa' = -1

Ngoài ra, hai đường thẳng (Δ₁) và (Δ₂) cũng vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến của chúng bằng 0.

Lưu ý: Vectơ pháp tuyến của đường thẳng (Δ₁): ax + by + c = 0 là n₁ = (a; b)

2. Góc Giữa Hai Đường Thẳng

Nếu hai đường thẳng không vuông góc, ta có thể tính góc giữa chúng (θ) bằng công thức:

cos(θ) = |u₁.u₂| / (||u₁|| . ||u₂||)

Trong đó:

• u₁ và u₂ là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng.
• ||u₁|| và ||u₂|| là độ dài của vectơ u₁ và u₂.

3. Bài Tập Vận Dụng

Bài tập 1: Cho hai đường thẳng (d₁): 2x - y + 3 = 0 và (d₂): x + 2y - 1 = 0. Chứng minh rằng hai đường thẳng này vuông góc với nhau.

Giải:

1. Tìm vectơ pháp tuyến của (d₁): n₁ = (2; -1)
2. Tìm vectơ pháp tuyến của (d₂): n₂ = (1; 2)
3. Tính tích vô hướng: n₁.n₂ = 2*1 + (-1)*2 = 0
4. Kết luận: Vì n₁.n₂ = 0, nên (d₁) ⊥ (d₂)

Bài tập 2: Tìm góc giữa hai đường thẳng (d₃): y = x + 1 và (d₄): y = -2x + 3.

Giải:

1. Tìm vectơ chỉ phương của (d₃): u₃ = (1; 1)
2. Tìm vectơ chỉ phương của (d₄): u₄ = (1; -2)
3. Tính tích vô hướng: u₃.u₄ = 1*1 + 1*(-2) = -1
4. Tính độ dài: ||u₃|| = √2, ||u₄|| = √5
5. cos(θ) = |-1| / (√2 * √5) = 1 / √10
6. θ = arccos(1 / √10) ≈ 71.57°

4. Mở Rộng và Liên Hệ

Kiến thức về hai đường thẳng vuông góc có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của toán học và vật lý, như việc giải các bài toán về hình học, tính toán khoảng cách, và phân tích các hiện tượng vật lý liên quan đến lực và chuyển động.

Hy vọng bài học này đã giúp các em hiểu rõ hơn về Bài 1. Hai đường thẳng vuông góc. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán nhé!