Lý Thuyết Đạo Hàm Cấp Hai - SGK Toán 11

Lý thuyết Đạo hàm cấp hai - SGK Toán 11 Cùng khám phá

Lý thuyết Đạo hàm cấp hai - SGK Toán 11

Chào mừng bạn đến với bài học về Lý thuyết Đạo hàm cấp hai trong chương trình SGK Toán 11 tại tusach.vn.

Đạo hàm cấp hai là một khái niệm quan trọng trong giải tích, giúp chúng ta hiểu rõ hơn về sự thay đổi của tốc độ thay đổi của một hàm số.

Bài viết này sẽ cung cấp đầy đủ lý thuyết, ví dụ minh họa và bài tập thực hành để bạn nắm vững kiến thức này.

A. Lý thuyết 1. Đạo hàm cấp hai

A. Lý thuyết

1. Đạo hàm cấp hai

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm với mọi \(x \in (a;b)\). Nếu hàm số y’ = f’(x) có đạo hàm tại x thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) tại x, kí hiệu là y’’ hoặc f’’(x).

2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Đạo hàm cấp hai s’’(t) là gia tốc tức thời tại thời điểm t của chất điểm chuyển động với phương trình s = s(t), tức là a(t) = s’’(t).

B. Bài tập

Bài 1: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) \(y = {x^4} + \ln x\).

b) \(y = {\sin ^2}x\).

Giải:

a) Với x = 0, ta có \(y' = 4{x^3} + \frac{1}{x}\); \(y'' = \left( {4{x^3} + \frac{1}{x}} \right)' = 12{x^2} - \frac{1}{{{x^2}}}\).

b) \(y' = 2\sin x\cos x = \sin 2x\); \(y'' = (\sin 2x)' = 2\cos 2x\).

Bài 2: Một vật chuyển động thẳng với phương trình \(s(t) = {t^3} + t\). Tính gia tốc của vật chuyển động thẳng tại các thời điểm \({t_1} = 2\) và \({t_2} = 3\). Ở thời điểm nào trong hai thời điểm trên, vật tăng tốc nhanh hơn?

Giải:

Ta có \(s'(t) = 3{t^2} + 1\), \(a(t) = s''(t) = 6t\).

\(a({t_1}) = a(2) = 12\) (m/s); \(a({t_2}) = a(3) = 18\) (m/s).

Vì \(a({t_2}) > a({t_1})\) nên tại thời điểm \({t_2} = 3\) vật tăng tốc nhanh hơn.

Lý thuyết Đạo hàm cấp hai - SGK Toán 11 Cùng khám phá 1

Lý Thuyết Đạo Hàm Cấp Hai - SGK Toán 11: Toàn Tập

Chào mừng các em học sinh đến với bài viết tổng hợp về lý thuyết đạo hàm cấp hai, một phần kiến thức quan trọng trong chương trình Toán 11. Tại tusach.vn, chúng tôi luôn cố gắng cung cấp những tài liệu học tập chất lượng, dễ hiểu và đầy đủ nhất để giúp các em học tập hiệu quả.

1. Đạo Hàm Cấp Hai Là Gì?

Trước khi đi sâu vào lý thuyết, chúng ta cần hiểu rõ đạo hàm cấp hai là gì. Đạo hàm cấp hai, ký hiệu là f''(x) hoặc d²y/dx², là đạo hàm của đạo hàm cấp một (f'(x) hoặc dy/dx). Nói cách khác, đạo hàm cấp hai cho biết tốc độ thay đổi của tốc độ thay đổi của hàm số.

2. Công Thức Tính Đạo Hàm Cấp Hai

Để tính đạo hàm cấp hai, chúng ta thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm cấp một f'(x).
Tính đạo hàm của f'(x) để được đạo hàm cấp hai f''(x).

Một số công thức đạo hàm cơ bản cần nhớ:

(xⁿ)' = nxⁿ⁻¹
(sin x)' = cos x
(cos x)' = -sin x
(eˣ)' = eˣ
(ln x)' = 1/x

3. Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ 1: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số f(x) = x³ + 2x² - 5x + 1

Giải:

f'(x) = 3x² + 4x - 5
f''(x) = 6x + 4

Ví dụ 2: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số f(x) = sin(2x)

Giải:

f'(x) = 2cos(2x)
f''(x) = -4sin(2x)

4. Ứng Dụng Của Đạo Hàm Cấp Hai

Đạo hàm cấp hai có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học và các lĩnh vực khác:

Xác định tính lồi lõm của hàm số: Nếu f''(x) > 0 trên một khoảng, hàm số lồi trên khoảng đó. Nếu f''(x) < 0 trên một khoảng, hàm số lõm trên khoảng đó.
Tìm điểm uốn: Điểm uốn là điểm mà tại đó hàm số thay đổi từ lồi sang lõm hoặc ngược lại.
Giải các bài toán tối ưu hóa: Đạo hàm cấp hai được sử dụng để xác định cực đại và cực tiểu của hàm số.

5. Bài Tập Thực Hành

Để củng cố kiến thức, các em hãy thử giải các bài tập sau:

Tính đạo hàm cấp hai của hàm số f(x) = 4x⁴ - 3x³ + 2x - 7
Tính đạo hàm cấp hai của hàm số f(x) = cos(3x)
Xác định khoảng mà hàm số f(x) = x³ - 6x² + 9x + 1 lồi và lõm.

6. Lời Khuyên Khi Học Lý Thuyết Đạo Hàm Cấp Hai

Nắm vững các công thức đạo hàm cơ bản.
Luyện tập thường xuyên để làm quen với các dạng bài tập khác nhau.
Hiểu rõ ứng dụng của đạo hàm cấp hai trong thực tế.
Sử dụng các tài liệu tham khảo và công cụ hỗ trợ học tập.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức hữu ích về lý thuyết đạo hàm cấp hai. Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!

Mọi thắc mắc hoặc cần hỗ trợ thêm, đừng ngần ngại liên hệ với tusach.vn. Chúng tôi luôn sẵn sàng đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục tri thức.