Chương VII. Đạo hàm

Chương VII. Đạo hàm: Tổng quan và ứng dụng

Đạo hàm là một khái niệm nền tảng trong giải tích, mô tả tốc độ thay đổi tức thời của một hàm số tại một điểm. Nó đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết các bài toán tối ưu hóa, tìm cực trị, và phân tích sự biến thiên của các hiện tượng vật lý, kinh tế, và nhiều lĩnh vực khác.

1. Định nghĩa đạo hàm

Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x₀, ký hiệu là f'(x₀), được định nghĩa là giới hạn:

f'(x₀) = lim_h→0 [f(x₀ + h) - f(x₀)] / h

Nếu giới hạn này tồn tại, ta nói hàm số f(x) khả vi tại điểm x₀.

2. Các quy tắc tính đạo hàm cơ bản

Để đơn giản hóa việc tính đạo hàm, chúng ta sử dụng các quy tắc sau:

• Quy tắc đạo hàm của tổng/hiệu: (u ± v)' = u' ± v'
• Quy tắc đạo hàm của tích: (uv)' = u'v + uv'
• Quy tắc đạo hàm của thương: (u/v)' = (u'v - uv') / v²
• Quy tắc đạo hàm của hàm hợp: (f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)

3. Đạo hàm của các hàm số thường gặp

Dưới đây là đạo hàm của một số hàm số thường gặp:

4. Ứng dụng của đạo hàm

Đạo hàm có nhiều ứng dụng quan trọng, bao gồm:

• Tìm cực trị của hàm số: Đạo hàm bằng 0 tại các điểm cực trị.
• Khảo sát sự biến thiên của hàm số: Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến.
• Giải quyết các bài toán tối ưu hóa: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong một khoảng cho trước.
• Tính vận tốc và gia tốc: Trong vật lý, đạo hàm của quãng đường theo thời gian là vận tốc, và đạo hàm của vận tốc theo thời gian là gia tốc.

5. Bài tập vận dụng

Để nắm vững kiến thức về đạo hàm, bạn nên thực hành giải nhiều bài tập. Dưới đây là một số bài tập ví dụ:

1. Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 3x² + 2x - 1.
2. Tìm cực trị của hàm số f(x) = x³ - 3x + 2.
3. Một vật chuyển động với vận tốc v(t) = 2t + 1 (m/s). Tính quãng đường vật đi được sau 5 giây.

Kết luận: Chương VII. Đạo hàm là một phần quan trọng của giải tích, cung cấp công cụ mạnh mẽ để phân tích và giải quyết các bài toán liên quan đến sự thay đổi. Việc nắm vững kiến thức về đạo hàm là cần thiết cho việc học tập và làm việc trong nhiều lĩnh vực khác nhau.