Bài 3.17 Trang 80 SGK Toán 11 Tập 1 - Cùng khám phá

Bài 3.17 trang 80 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Bài 3.17 thuộc chương trình Toán 11 tập 1, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế. Bài tập này yêu cầu học sinh hiểu rõ các quy tắc tính đạo hàm và cách áp dụng chúng vào việc tìm cực trị của hàm số.

tusach.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.

Tìm các giới hạn:

Đề bài

Tìm các giới hạn:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{{x^2} - x - 12}}{{{x^2} - 16}}\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^4} - 1}}{{{x^3} - 1}}\)

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^3} + x + 5}}{{2{x^3} - 1}}\)

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{{2x - 1}}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết Bài 3.17 trang 80 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá 1

a, b, Đây là giới hạn tại điểm có dạng vô định \(\frac{0}{0}\)

Phân tích đa thức thành nhân tử để khử dạng vô định \(\frac{0}{0}\)

c, d, Đây là giới hạn của hàm số tại vô cực

Áp dụng các công thức sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{c}{{{x^k}}} = 0;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{c}{{{x^k}}} = 0\)

Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa của \(x\) với số mũ lớn nhất

Chú ý: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left| x \right| = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - x} \right)\)

Lời giải chi tiết

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{{x^2} - x - 12}}{{{x^2} - 16}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 4} \right)}}{{\left( {x + 4} \right)\left( {x - 4} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{x + 3}}{{x + 4}} = \frac{{4 + 3}}{{4 + 4}} = \frac{7}{8}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^4} - 1}}{{{x^3} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^3} + {x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} + {x^2} + x + 1}}{{{x^2} + x + 1}} = \frac{{{1^3} + {1^2} + 1 + 1}}{{{1^2} + 1 + 1}} = \frac{4}{3}\)

Chia cả từ và mẫu cho \({x^3}\) ta được \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^3} + x + 5}}{{2{x^3} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{5}{{{x^3}}}}}{{2 - \frac{1}{{{x^3}}}}} = \frac{1}{2}\)

Chia cả tử và mẫu cho \(x\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{{2x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\left| x \right|\sqrt {\frac{1}{{{x^2}}} + 1} }}{{2x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - x\sqrt {\frac{1}{{{x^2}}} + 1} }}{{2x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - \sqrt {\frac{1}{{{x^2}}} + 1} }}{{2 - \frac{1}{x}}} = - \frac{1}{2}\)

Bài 3.17 Trang 80 SGK Toán 11 Tập 1 - Cùng khám phá: Giải chi tiết và hướng dẫn

Bài 3.17 trang 80 SGK Toán 11 tập 1 yêu cầu chúng ta giải quyết một bài toán thực tế liên quan đến việc tối ưu hóa. Cụ thể, bài toán thường liên quan đến việc tìm kích thước tối ưu của một vật thể để đạt được một mục tiêu nào đó, ví dụ như tối đa hóa diện tích hoặc thể tích.

Nội dung bài toán (Ví dụ minh họa):

Một người nông dân muốn rào một khu vườn hình chữ nhật có diện tích 100m². Chi phí cho hàng rào là 50.000 đồng/mét. Hỏi người nông dân cần bỏ ra bao nhiêu tiền để rào khu vườn với chi phí thấp nhất?

Hướng dẫn giải bài 3.17 Toán 11 tập 1:

Bước 1: Xác định hàm số mục tiêu.

Trong bài toán trên, hàm số mục tiêu là chi phí rào khu vườn. Gọi chiều dài và chiều rộng của khu vườn lần lượt là x và y. Ta có diện tích khu vườn là xy = 100. Chu vi khu vườn là 2(x + y). Vậy chi phí rào khu vườn là C = 50000 * 2(x + y) = 100000(x + y).

Bước 2: Biểu diễn hàm số mục tiêu theo một biến.

Từ xy = 100, ta có y = 100/x. Thay vào hàm chi phí, ta được C(x) = 100000(x + 100/x).

Bước 3: Tìm đạo hàm của hàm số mục tiêu.

C'(x) = 100000(1 - 100/x²).

Bước 4: Giải phương trình C'(x) = 0 để tìm điểm cực trị.

1 - 100/x² = 0 => x² = 100 => x = 10 (vì x là chiều dài nên x > 0).

Bước 5: Kiểm tra điều kiện cực tiểu.

C''(x) = 100000(200/x³). Tại x = 10, C''(10) = 200000 > 0, vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 10.

Bước 6: Tính giá trị của y và chi phí tối thiểu.

y = 100/x = 100/10 = 10. Vậy khu vườn có hình vuông với cạnh 10m. Chi phí tối thiểu là C(10) = 100000(10 + 10) = 2.000.000 đồng.

Lưu ý quan trọng khi giải bài toán tối ưu:

Xác định rõ hàm số mục tiêu và các ràng buộc của bài toán.
Biểu diễn hàm số mục tiêu theo một biến số duy nhất.
Sử dụng đạo hàm để tìm điểm cực trị của hàm số.
Kiểm tra điều kiện cực đại hoặc cực tiểu để đảm bảo kết quả tìm được là hợp lý.
Xem xét các điều kiện thực tế của bài toán để đưa ra kết luận cuối cùng.

Các bài tập tương tự:

Để luyện tập thêm, bạn có thể tìm các bài tập tương tự trong SGK Toán 11 tập 1 hoặc trên các trang web học Toán trực tuyến. Việc giải nhiều bài tập sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng giải quyết các bài toán tối ưu.

Kết luận:

Bài 3.17 trang 80 SGK Toán 11 tập 1 là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu rõ ứng dụng của đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán thực tế. Bằng cách nắm vững các bước giải và luyện tập thường xuyên, bạn sẽ tự tin giải quyết các bài toán tương tự một cách hiệu quả.

Chúc các bạn học tốt!

Bài 3.17 trang 80 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Bài 3.17 trang 80 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Bài 3.17 Trang 80 SGK Toán 11 Tập 1 - Cùng khám phá: Giải chi tiết và hướng dẫn

Nội dung bài toán (Ví dụ minh họa):

Hướng dẫn giải bài 3.17 Toán 11 tập 1:

Lưu ý quan trọng khi giải bài toán tối ưu:

Các bài tập tương tự:

Kết luận:

CHỦ ĐỀ SÁCH XEM NHIỀU

VỀ TUSACH.VN