Đề bài
Hãy xác định các khoảng mà trên đó mỗi hàm số sau đây là liên tục
a) \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x}}{{{x^2} - x - 6}}\)
b) \(g\left( x \right) = x + \sqrt {{x^2} - 9x} \)
c) \(h\left( x \right) = {x^2} + \cot x\)
d, \(t\left( x \right) = \left( {x + 2\sqrt x } \right)\left( {x - 2\sqrt x } \right)\)
e) \(u\left( x \right) = \frac{{\sin 2x}}{{\sqrt x }}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Hàm đa thức liên tục trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).
Hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên các khoảng xác định của nó.
Hàm số \(y = \sin x,\,\,y = \cos x\) liên tục trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\)
Hàm số \(y = \tan x,\,\,y = \cot x\) liên tục trên các khoảng xác định của nó.
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên khoảng K và \(f\left( x \right) \ge 0\),\(\forall x \in K\). Khi đó hàm số \(y = \sqrt {f\left( x \right)} \) liên tục trên \(K\)
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) là các hàm số liên tục trên khoảng K thì hàm số \(y = f\left( x \right) \pm g\left( x \right)\) cũng liên tục trên khoảng K
Lời giải chi tiết
a,
Tập xác định \(D = \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)
Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x}}{{{x^2} - x - 6}}\) là hàm phân thức hữu tỉ nên hàm số liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\)
b,
Hàm số xác định khi và chỉ khi \({x^2} - 9x \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 9\\x \le 0\end{array} \right.\)
Tập xác định của hàm số là \(\left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {9; + \infty } \right)\)
Hàm số \(y = x\) là hàm đa thức nên liên tục trên \(\left( { - \infty ;0} \right]\) và \(\left[ {9; + \infty } \right)\)
Hàm số \(y = {x^2} - 9x\) là hàm đa thức nên liên tục trên \(\left( { - \infty ;0} \right]\) và \(\left[ {9; + \infty } \right)\)
Ngoài ra, vì \({x^2} - 9x \ge 0,\forall x \in \left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {9; + \infty } \right)\) nên \(y = \sqrt {{x^2} - 9x} \) liên tục trên \(\left( { - \infty ;0} \right]\) và \(\left[ {9; + \infty } \right)\)
Do đó, hàm số \(y = x + \sqrt {{x^2} - 9x} \) liên tục trên \(\left( { - \infty ;0} \right]\) và \(\left[ {9; + \infty } \right)\)
c,
Điều kiện xác định là \(\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi \) với \(k \in \mathbb{Z}\)
Tập xác định là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Hàm số \(y = {x^2}\) là hàm đa thức nên hàm số liên tục trên khoảng \(\left( {k2\pi ;\pi + k2\pi } \right)\) với \(k \in \mathbb{Z}\)
Hàm số \(y = \cot x\) liên tục trên khoảng \(\left( {k2\pi ;\pi + k2\pi } \right)\) với \(k \in \mathbb{Z}\)
Do đó, hàm số \(y = {x^2} + \cot x\) liên tục trên khoảng \(\left( {k2\pi ;\pi + k2\pi } \right)\) với \(k \in \mathbb{Z}\)
d,
Điều kiện xác định \(x \ge 0\). Tập xác định \(D = \left[ {0; + \infty } \right)\)
Ta có \(t\left( x \right) = {x^2} - 4x\) là hàm đa thức nên hàm số liên tục trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\)
e,
Điều kiện xác định \(x > 0\). Tập xác định \(D = \left( {0; + \infty } \right)\)
Vì hàm số \(y = \sin 2x\) liên tục trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\) nên nó liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Hàm số \(y = \sqrt x \) liên tục trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Nên hàm số \(y = \frac{{\sin 2x}}{{\sqrt x }}\) liên tục trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)
