Chương 2 Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân

Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân - Tổng quan

Dãy số là một hàm số được xác định trên tập hợp các số tự nhiên hoặc một tập con của nó. Nói cách khác, dãy số là một chuỗi các số được sắp xếp theo một thứ tự nhất định. Chương 2 Toán 11 đi sâu vào việc phân loại, nghiên cứu tính chất và ứng dụng của các loại dãy số quan trọng, đặc biệt là cấp số cộng và cấp số nhân.

1. Dãy số

Một dãy số (a_n) được xác định bởi công thức tổng quát a_n = f(n), trong đó n là chỉ số của số hạng và n ∈ N* (hoặc một tập con của N*). Dãy số có thể hữu hạn hoặc vô hạn.

2. Cấp số cộng

Cấp số cộng là một dãy số mà mỗi số hạng sau được tạo thành bằng cách cộng một số không đổi (d) vào số hạng trước đó. Số d này được gọi là công sai của cấp số cộng.

• Công thức tổng quát: a_n = a₁ + (n-1)d
• Tổng n số hạng đầu tiên: S_n = n/2 * (a₁ + a_n) = n/2 * [2a₁ + (n-1)d]

Ví dụ: Dãy số 2, 5, 8, 11,... là một cấp số cộng với a₁ = 2 và d = 3.

3. Cấp số nhân

Cấp số nhân là một dãy số mà mỗi số hạng sau được tạo thành bằng cách nhân số hạng trước đó với một số không đổi (q) khác 0. Số q này được gọi là công bội của cấp số nhân.

• Công thức tổng quát: a_n = a₁ * q^(n-1)
• Tổng n số hạng đầu tiên:
  • Nếu q ≠ 1: S_n = a₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q)
  • Nếu q = 1: S_n = n * a₁

Ví dụ: Dãy số 3, 6, 12, 24,... là một cấp số nhân với a₁ = 3 và q = 2.

4. Ứng dụng của Dãy số, Cấp số cộng và Cấp số nhân

Các khái niệm về dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

• Tính lãi kép: Cấp số nhân được sử dụng để tính lãi kép trong tài chính.
• Mô hình tăng trưởng dân số: Dãy số và cấp số nhân có thể được sử dụng để mô hình hóa sự tăng trưởng dân số.
• Vật lý: Các hiện tượng vật lý như sự rơi tự do, dao động điều hòa có thể được mô tả bằng các công thức liên quan đến dãy số.

5. Bài tập minh họa

Bài tập 1: Tìm số hạng thứ 10 của cấp số cộng có a₁ = 1 và d = 2.

Giải: a₁₀ = a₁ + (10-1)d = 1 + 9*2 = 19

Bài tập 2: Tính tổng của 5 số hạng đầu tiên của cấp số nhân có a₁ = 2 và q = 3.

Giải: S₅ = a₁ * (1 - q⁵) / (1 - q) = 2 * (1 - 3⁵) / (1 - 3) = 2 * (1 - 243) / (-2) = 242

6. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về Chương 2, bạn nên:

• Giải nhiều bài tập khác nhau, từ cơ bản đến nâng cao.
• Xem lại các định nghĩa, công thức và tính chất quan trọng.
• Tìm hiểu các ứng dụng thực tế của dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân.

Chúc bạn học tốt!