Bài 2. Công thức nhân xác suất

Bài 2: Công thức nhân xác suất

Trong lý thuyết xác suất, công thức nhân xác suất là một công cụ vô cùng quan trọng để tính toán xác suất của các biến cố phức tạp. Nó cho phép chúng ta xác định khả năng xảy ra của một sự kiện khi biết xác suất của các sự kiện liên quan.

1. Biến cố độc lập và xác suất có điều kiện

Trước khi đi sâu vào công thức, chúng ta cần hiểu rõ hai khái niệm cơ bản: biến cố độc lập và xác suất có điều kiện.

• Biến cố độc lập: Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra của biến cố A không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố B, và ngược lại. P(B|A) = P(B) và P(A|B) = P(A).
• Xác suất có điều kiện: Xác suất của biến cố B xảy ra khi biết rằng biến cố A đã xảy ra được ký hiệu là P(B|A) và được tính bằng công thức: P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A), với P(A) > 0.

2. Công thức nhân xác suất

Công thức nhân xác suất được phát biểu như sau:

P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A)

Trong đó:

• P(A ∩ B) là xác suất của biến cố A và B đồng thời xảy ra.
• P(A) là xác suất của biến cố A.
• P(B|A) là xác suất của biến cố B xảy ra khi biết biến cố A đã xảy ra.

Trường hợp đặc biệt: Nếu A và B là hai biến cố độc lập, thì công thức nhân xác suất trở thành:

P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Tính xác suất để cả hai quả bóng đều màu đỏ.

Giải:

1. Gọi A là biến cố “quả bóng thứ nhất lấy được là màu đỏ”.
2. Gọi B là biến cố “quả bóng thứ hai lấy được là màu đỏ”.
3. Ta cần tính P(A ∩ B).
4. P(A) = 5/8 (vì có 5 quả bóng đỏ trên tổng số 8 quả bóng).
5. P(B|A) = 4/7 (vì sau khi lấy 1 quả bóng đỏ, còn lại 4 quả bóng đỏ trên tổng số 7 quả bóng).
6. P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A) = (5/8) * (4/7) = 20/56 = 5/14.

Ví dụ 2: Gieo một con xúc xắc hai lần. Tính xác suất để cả hai lần đều ra mặt 6.

Giải:

Gọi A là biến cố “lần gieo thứ nhất ra mặt 6”. Gọi B là biến cố “lần gieo thứ hai ra mặt 6”. Vì hai lần gieo là độc lập, nên:

P(A ∩ B) = P(A) * P(B) = (1/6) * (1/6) = 1/36.

4. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức, hãy thử giải các bài tập sau:

• Bài 1: Một túi chứa 4 quả bóng trắng và 6 quả bóng đen. Rút ngẫu nhiên 2 quả bóng. Tính xác suất để cả hai quả bóng đều màu đen.
• Bài 2: Gieo hai con xúc xắc. Tính xác suất để tổng số chấm trên hai con xúc xắc bằng 7.

5. Kết luận

Công thức nhân xác suất là một công cụ mạnh mẽ trong việc giải quyết các bài toán xác suất. Việc hiểu rõ các khái niệm liên quan và áp dụng công thức một cách chính xác sẽ giúp bạn đạt được kết quả tốt nhất. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức này!