Lý Thuyết Các Tứ Phân Vị - Toán 11 (SGK)

Lý thuyết Các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm - SGK Toán 11 Cùng khám phá

Lý thuyết Các Tứ Phân Vị - Nền tảng Thống Kê Toán 11

Bài học về các tứ phân vị trong chương trình Toán 11 là một phần quan trọng của thống kê, giúp học sinh hiểu cách phân chia dữ liệu thành các phần bằng nhau để đánh giá sự phân bố và xu hướng của mẫu số liệu.

Tusach.vn cung cấp lý thuyết chi tiết, dễ hiểu cùng các ví dụ minh họa sinh động, giúp bạn nắm vững kiến thức và áp dụng vào giải bài tập một cách hiệu quả.

I. Nhóm chứa trung vị

I. Nhóm chứa trung vị

Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \(\frac{N}{2}\), trong đó N là cỡ mẫu.

II. công thức tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm

\({M_e} = {L_m} + \frac{{\frac{N}{2} - T}}{{{n_m}}}.h\)

Trong đó:

N là cỡ mẫu
\({L_m}\), \({n_m}\) và \(h\) lần lượt là đầu mút trái, tần số và độ dài của nhóm chứa trung vị.
T là tần số tích lũy của nhóm ngay trước nhóm chứa trung vị.
Trong trường hợp nhóm chứa trung vị là nhóm đầu tiên của mẫu số liệu, người ta quy ước \(T = 0\).

* Ý nghĩa: Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ cho trung vị của mẫu số liệu và có thể sử dụng làm giá trị đại diện cho mẫu số liệu.

III. Công thức tính các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Công thức tính các tứ phân vị \({Q_1},{Q_2},{Q_3}\) của mẫu số liệu ghép nhóm:

Nhóm chứa \({Q_i}\left( {i = 1,2,3} \right)\) là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \(\frac{{iN}}{4}\) và

\({Q_i} = {L_i} + \frac{{i.\frac{N}{4} - {T_i}}}{{{n_i}}}.h\)

Trong đó:

N là cỡ mẫu .
\({L_i}\), \({n_i}\) và \(h\) lần lượt là đầu mút trái, tần số và độ dài của nhóm chứa \({Q_i}\).
\({T_i}\) là tần số tích lũy của nhóm trước nhóm chứa \({Q_i}\).
\({Q_i}\) là nhóm đầu tiên của mẫu số liệu, người ta quy ước \({T_i} = 0\).

* Lưu ý: Trong trường hợp các nhóm có độ dài bằng nhau thì h giống nhau với mọi nhóm.

* Ý nghĩa:

- Tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ của tứ phân vị của mẫu số liệu.

- Các tứ phân vị \({Q_1},{Q_2},{Q_3}\) chia mẫu số liệu ghép nhóm thành 4 phần có số liệu bằng nhau. Các tứ phân vị cho ta một hình ảnh về sự phân bố của mẫu số liệu. Dựa vào các tứ phân vị, ta có thể biết số liệu tập trung ít hay nhiều quanh trung vị.

Lý thuyết Các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm - SGK Toán 11 Cùng khám phá 1

Lý Thuyết Các Tứ Phân Vị của Mẫu Số Liệu Ghép Nhóm - SGK Toán 11

Trong thống kê, các tứ phân vị là những giá trị chia một tập dữ liệu đã được sắp xếp thành bốn phần bằng nhau. Việc hiểu rõ về tứ phân vị giúp chúng ta đánh giá sự phân bố của dữ liệu, xác định các giá trị ngoại lệ và so sánh các tập dữ liệu khác nhau.

1. Khái niệm về Tứ Phân Vị

Giả sử ta có một mẫu số liệu đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần: x₁ ≤ x₂ ≤ ... ≤ x_n.

Tứ phân vị thứ nhất (Q₁): Là giá trị chia mẫu số liệu thành hai phần, sao cho số lượng giá trị nhỏ hơn hoặc bằng Q₁ bằng 25% tổng số giá trị.
Tứ phân vị thứ hai (Q₂): Là giá trị chia mẫu số liệu thành hai phần, sao cho số lượng giá trị nhỏ hơn hoặc bằng Q₂ bằng 50% tổng số giá trị. Q₂ chính là trung vị của mẫu số liệu.
Tứ phân vị thứ ba (Q₃): Là giá trị chia mẫu số liệu thành hai phần, sao cho số lượng giá trị nhỏ hơn hoặc bằng Q₃ bằng 75% tổng số giá trị.

2. Cách Tính Tứ Phân Vị cho Mẫu Số Liệu Ghép Nhóm

Khi làm việc với mẫu số liệu ghép nhóm, việc tính toán tứ phân vị sẽ phức tạp hơn một chút. Dưới đây là các bước thực hiện:

Tính kích thước của mỗi phần: Kích thước mỗi phần = n/4, trong đó n là tổng số quan sát.
Xác định vị trí của Q₁, Q₂, Q₃:
- Vị trí Q₁ = (n+1)/4
- Vị trí Q₂ = (n+1)/2
- Vị trí Q₃ = 3(n+1)/4
Tìm khoảng chứa tứ phân vị: Xác định khoảng chứa vị trí tứ phân vị.
Tính giá trị tứ phân vị: Sử dụng công thức nội suy để tính giá trị tứ phân vị.

3. Ví dụ Minh Họa

Giả sử ta có bảng tần số sau:

Điểm	Tần số (f)
5	5
6	10
7	15
8	12
9	8
Tổng	50

Tổng số quan sát n = 50.

Vị trí Q₁ = (50+1)/4 = 12.75. Q₁ nằm trong khoảng [6, 7].

Áp dụng công thức nội suy, ta có thể tính được Q₁.

4. Ý Nghĩa của Tứ Phân Vị

Tứ phân vị cung cấp thông tin quan trọng về sự phân bố của dữ liệu:

Khoảng tứ phân vị (IQR): IQR = Q₃ - Q₁, cho biết độ phân tán của 50% dữ liệu trung tâm.
Biểu đồ hộp (Boxplot): Tứ phân vị được sử dụng để xây dựng biểu đồ hộp, giúp trực quan hóa sự phân bố của dữ liệu và phát hiện các giá trị ngoại lệ.

5. Bài Tập Áp Dụng

Để củng cố kiến thức, hãy thực hành giải các bài tập về tứ phân vị trong SGK Toán 11 và các tài liệu tham khảo khác. Tusach.vn sẽ cung cấp thêm các bài tập và lời giải chi tiết trong các bài viết tiếp theo.

Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về lý thuyết các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm. Chúc bạn học tập tốt!