Bài 7 trang 41 Toán 11 Tập 1 - Chân trời sáng tạo

Bài 7 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Bài 7 trang 41 SGK Toán 11 Tập 1 - Chân trời sáng tạo

Bài 7 trang 41 SGK Toán 11 Tập 1 - Chân trời sáng tạo là bài tập thuộc chương trình học Toán 11, tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng về giới hạn của hàm số. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức đã học để giải quyết các bài toán cụ thể.

tusach.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.

Trong Hình 10, ngọn đèn trên hải đăng H cách bờ biển yy' một khoảng HO = 1 km.

Đề bài

Trong Hình 10, ngọn đèn trên hải đăng H cách bờ biển yy' một khoảng HO = 1 km. Đèn xoay ngược chiều kim đồng hồ với tốc độ \(\frac{\pi }{{10}}\)rad/s và chiếu hai luồng ánh sáng về phía đối diện nhau. Khi đèn xoay, điểm M mà luồng ánh sáng của hải đăng rọi vào bờ biển chuyển dộng dọc theo bờ.

(Theo https://www.mnhs.org/splitrock/learn/technology)

Bài 7 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo 1

a) Ban đầu luồng sáng trùng với đường thẳng HO. Viết hàm số biểu thị toạ độ \({y_M}\) của điểm M trên trục Oy theo thời gian t.

b) Ngôi nhà N nằm trên bờ biển với toạ độ \({y_N} = - 1\;\left( {km} \right).\) Xác định các thời điểm t mà đèn hải đăng chiếu vào ngôi nhà.

Phương pháp giải - Xem chi tiết Bài 7 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo 2

a, Dựa vào đề bài để viếthàm số biểu thị toạ độ \({y_M}\) .

b, Phương trình \(\tan x = m\)có nghiệm với mọi m.

Với mọi \(m \in \mathbb{R}\), tồn tại duy nhất \(\alpha \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) thoả mãn \(\tan \alpha = m\). Khi đó:

\(\tan {\rm{x}} = m \Leftrightarrow \tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)

Lời giải chi tiết

a) Sau t giây điểm M quét được một góc lượng giác có số đo là: \(\alpha = \frac{\pi }{{10}}t\) rad.

Xét tam giác HOM vuông tại O có:

\(MO = tan\alpha .1 = \tan \left( {\frac{\pi }{{10}}t} \right)\).

Vậy tọa độ \({y_M} = \tan \left( {\frac{\pi }{{10}}t} \right)\).

b) Xét \(\tan \left( {\frac{\pi }{{10}}t} \right) = - 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \tan \left( {\frac{\pi }{{10}}t} \right) = \tan \left( { - \frac{\pi }{4}} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{\pi }{{10}}t = - \frac{\pi }{4} + k\pi \\ \Leftrightarrow t = - \frac{5}{2} + 10k,k \in \mathbb{Z}.\end{array}\)

Vì \(t \ge 0\) nên tại các thời điểm \(t = - \frac{5}{2} + 10k,k \in \mathbb{Z},k \ge 1\) thì đèn hải đăng chiếu vào ngôi nhà.

Bài 7 trang 41 SGK Toán 11 Tập 1 - Chân trời sáng tạo: Giải chi tiết và hướng dẫn

Bài 7 trang 41 SGK Toán 11 Tập 1 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, giúp học sinh củng cố kiến thức về giới hạn của hàm số. Dưới đây là lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập này:

Nội dung bài tập

Bài 7 yêu cầu tính các giới hạn sau:

lim (x→2) (x² - 3x + 2) / (x - 2)
lim (x→-1) (x³ + 1) / (x + 1)
lim (x→0) (√(x+1) - 1) / x

Lời giải chi tiết

1. lim (x→2) (x² - 3x + 2) / (x - 2)

Ta có thể phân tích tử thức:

x² - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)

Vậy:

lim (x→2) (x² - 3x + 2) / (x - 2) = lim (x→2) (x - 1)(x - 2) / (x - 2) = lim (x→2) (x - 1) = 2 - 1 = 1

2. lim (x→-1) (x³ + 1) / (x + 1)

Ta có thể phân tích tử thức:

x³ + 1 = (x + 1)(x² - x + 1)

Vậy:

lim (x→-1) (x³ + 1) / (x + 1) = lim (x→-1) (x + 1)(x² - x + 1) / (x + 1) = lim (x→-1) (x² - x + 1) = (-1)² - (-1) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3

3. lim (x→0) (√(x+1) - 1) / x

Để tính giới hạn này, ta nhân cả tử và mẫu với liên hợp của tử thức:

lim (x→0) (√(x+1) - 1) / x = lim (x→0) [(√(x+1) - 1)(√(x+1) + 1)] / [x(√(x+1) + 1)] = lim (x→0) (x + 1 - 1) / [x(√(x+1) + 1)] = lim (x→0) x / [x(√(x+1) + 1)] = lim (x→0) 1 / (√(x+1) + 1) = 1 / (√(0+1) + 1) = 1 / (1 + 1) = 1/2

Lưu ý quan trọng

Khi tính giới hạn, cần kiểm tra xem mẫu số có bằng 0 hay không. Nếu mẫu số bằng 0, cần phân tích tử và mẫu để rút gọn biểu thức trước khi tính giới hạn.
Sử dụng các công thức giới hạn cơ bản và các phương pháp như nhân liên hợp để đơn giản hóa biểu thức.
Kiểm tra lại kết quả bằng cách thay giá trị x tiến tới giá trị giới hạn vào biểu thức.

Bài tập tương tự

Để rèn luyện thêm kỹ năng giải bài tập về giới hạn, bạn có thể tham khảo các bài tập tương tự trong SGK Toán 11 Tập 1 - Chân trời sáng tạo và các tài liệu tham khảo khác.

Kết luận

Bài 7 trang 41 SGK Toán 11 Tập 1 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng giúp học sinh hiểu rõ hơn về khái niệm giới hạn và các phương pháp tính giới hạn. Việc nắm vững kiến thức này sẽ là nền tảng vững chắc cho việc học các chương trình Toán học nâng cao hơn.

Chúc các bạn học tốt!