Lý Thuyết Hàm Số Liên Tục - Toán 11 Chân Trời Sáng Tạo

Lý thuyết Hàm số liên tục - SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Lý Thuyết Hàm Số Liên Tục - Nền Tảng Toán 11

Hàm số liên tục là một khái niệm quan trọng trong chương trình Toán 11, đặc biệt là trong sách giáo khoa Chân trời sáng tạo.

Hiểu rõ lý thuyết này giúp học sinh nắm vững kiến thức về tính liên tục của hàm số, ứng dụng trong giải quyết các bài toán thực tế và chuẩn bị cho các kiến thức nâng cao hơn.

1. Hàm số liên tục tại 1 điểm

1. Hàm số liên tục tại 1 điểm

Cho hàm \(y = f(x)\) xác định trên khoảng K, \({x_0} \in K\). Hàm số \(f(x)\) được gọi là liên tục tại điểm \({x_0}\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = f({x_0})\).

Hàm số không liên tục tại \({x_0}\) được gọi là gián đoạn tại điểm đó.

*Nhận xét: Để hàm số \(y = f(x)\) liên tục tại \({x_0}\) thì phải có cả 3 điều sau:

Hàm số xác định tại \({x_0}\).
Tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = f({x_0})\)

2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn

- Hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\)

Hàm số \(y = f(x)\)được gọi là liên tục trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\)nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này.

- Hàm số \(y = f(x)\)được gọi là liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\)nếu nó liên tục trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\)và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = f(a),\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f(x) = f(b)\).

* Nhận xét:

- Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng, đoạn là “đường liền” trên khoảng, đoạn đó.

- Nếu hàm số\(y = f(x)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) và \(f(a).f(b) < 0\)thì phương trình \(f(x) = 0\)có ít nhất một nghiệm trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\).

3. Tính liên tục của hàm sơ cấp cơ bản

- Hàm số đa thức và hàm số \(y = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}},y = c{\rm{osx}}\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

- Các hàm số \(y = \tan {\rm{x}},y = c{\rm{otx,}}y = \sqrt x \)và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng.

2. Tổng, hiệu, tích, thương của hàm số liên tục

Giả sử hai hàm số \(y = f(x)\) và \(y = g(x)\) liên tục tại điểm \({x_0}\). Khi đó:

a, Các hàm số \(y = f(x) \pm g(x)\)và \(y = f(x).g(x)\) liên tục tại điểm \({x_0}\).

b, Hàm số \(y = \frac{{f(x)}}{{g(x)}}\) liên tục tại điểm \({x_0}\)nếu \(g({x_0}) \ne 0\).

Lý thuyết Hàm số liên tục - SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo 1

Lý Thuyết Hàm Số Liên Tục - Toán 11 Chân Trời Sáng Tạo: Giải Thích Chi Tiết

Hàm số liên tục là một khái niệm cơ bản nhưng vô cùng quan trọng trong giải tích. Nó đóng vai trò nền tảng cho nhiều khái niệm và định lý khác, như đạo hàm, tích phân, và các ứng dụng trong vật lý, kỹ thuật, kinh tế,... Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn toàn diện về lý thuyết hàm số liên tục theo chương trình Toán 11 Chân trời sáng tạo.

1. Định Nghĩa Hàm Số Liên Tục Tại Một Điểm

Một hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x₀ nếu thỏa mãn ba điều kiện sau:

f(x₀) xác định (tức là x₀ thuộc tập xác định của f(x)).
lim_x→x₀f(x) tồn tại (tức là giới hạn của f(x) khi x tiến tới x₀ là một số thực).
lim_x→x₀f(x) = f(x₀) (tức là giới hạn của f(x) khi x tiến tới x₀ bằng giá trị của hàm số tại x₀).

Nếu một trong ba điều kiện trên không được thỏa mãn, hàm số f(x) được gọi là gián đoạn tại điểm x₀.

2. Các Loại Gián Đoạn

Có một số loại gián đoạn thường gặp:

Gián đoạn khử được: Khi lim_x→x₀f(x) tồn tại nhưng khác với f(x₀).
Gián đoạn loại 1: Khi lim_x→x₀^-f(x) và lim_x→x₀⁺f(x) đều tồn tại nhưng khác nhau.
Gián đoạn loại 2: Khi ít nhất một trong hai giới hạn lim_x→x₀^-f(x) hoặc lim_x→x₀⁺f(x) không tồn tại.

3. Hàm Số Liên Tục Trên Một Khoảng

Một hàm số f(x) được gọi là liên tục trên một khoảng (a, b) nếu nó liên tục tại mọi điểm trong khoảng đó.

Một hàm số f(x) được gọi là liên tục trên một đoạn [a, b] nếu nó liên tục trên khoảng (a, b) và liên tục phải từ bên phải tại a và liên tục trái tại b.

4. Các Tính Chất Của Hàm Số Liên Tục

Một số tính chất quan trọng của hàm số liên tục:

Tổng, hiệu, tích của các hàm số liên tục là một hàm số liên tục.
Thương của hai hàm số liên tục (với mẫu khác 0) là một hàm số liên tục.
Hàm hợp của các hàm số liên tục là một hàm số liên tục.

5. Ứng Dụng Của Lý Thuyết Hàm Số Liên Tục

Lý thuyết hàm số liên tục có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ:

Trong vật lý: Mô tả chuyển động của các vật thể.
Trong kỹ thuật: Thiết kế các hệ thống điều khiển.
Trong kinh tế: Phân tích các mô hình kinh tế.

6. Bài Tập Vận Dụng (Ví dụ)

Bài tập: Xét hàm số f(x) = x² + 1. Hàm số này có liên tục tại điểm x = 2 không? Tại sao?

Giải:

f(2) = 2² + 1 = 5 (xác định).
lim_x→2f(x) = 2² + 1 = 5 (tồn tại).
lim_x→2f(x) = f(2) = 5.

Vậy hàm số f(x) = x² + 1 liên tục tại điểm x = 2.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn một cái nhìn rõ ràng và đầy đủ về lý thuyết hàm số liên tục trong chương trình Toán 11 Chân trời sáng tạo. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức này nhé!