Chương VII. Đạo hàm: Tổng quan và Hướng dẫn chi tiết
Đạo hàm là một khái niệm nền tảng trong giải tích, mô tả tốc độ thay đổi tức thời của một hàm số tại một điểm. Hiểu rõ về đạo hàm là chìa khóa để giải quyết nhiều bài toán trong toán học, vật lý, kinh tế và các lĩnh vực khoa học khác.
1. Định nghĩa đạo hàm
Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x = a, ký hiệu là f'(a), được định nghĩa là giới hạn:
f'(a) = lim (h -> 0) [f(a + h) - f(a)] / h
Nếu giới hạn này tồn tại, ta nói hàm số f(x) khả vi tại x = a.
2. Các quy tắc tính đạo hàm cơ bản
Việc tính đạo hàm trực tiếp từ định nghĩa có thể phức tạp. Do đó, chúng ta sử dụng các quy tắc đạo hàm để đơn giản hóa quá trình này:
- Đạo hàm của hằng số: (c)' = 0
- Đạo hàm của hàm số mũ: (x^n)' = n*x^(n-1)
- Đạo hàm của tổng/hiệu: (u ± v)' = u' ± v'
- Đạo hàm của tích: (u*v)' = u'*v + u*v'
- Đạo hàm của thương: (u/v)' = (u'*v - u*v') / v^2
- Đạo hàm của hàm hợp: (f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)
3. Đạo hàm của các hàm số thường gặp
Dưới đây là đạo hàm của một số hàm số thường gặp:
| Hàm số | Đạo hàm |
|---|
| sin(x) | cos(x) |
| cos(x) | -sin(x) |
| tan(x) | 1/cos^2(x) |
| e^x | e^x |
| ln(x) | 1/x |
4. Ứng dụng của đạo hàm
Đạo hàm có nhiều ứng dụng quan trọng:
- Tìm cực trị của hàm số: Đạo hàm bằng 0 tại các điểm cực trị.
- Khảo sát sự biến thiên của hàm số: Xác định khoảng tăng, giảm của hàm số.
- Giải quyết các bài toán tối ưu: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong một khoảng cho trước.
- Tính vận tốc và gia tốc: Trong vật lý, đạo hàm của quãng đường theo thời gian là vận tốc, và đạo hàm của vận tốc theo thời gian là gia tốc.
5. Bài tập ví dụ
Bài 1: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 3x^2 + 2x - 1
Giải: f'(x) = 6x + 2
Bài 2: Tính đạo hàm của hàm số g(x) = sin(x) * cos(x)
Giải: g'(x) = cos(x) * cos(x) + sin(x) * (-sin(x)) = cos^2(x) - sin^2(x)
6. Luyện tập và củng cố kiến thức
Để nắm vững kiến thức về đạo hàm, bạn nên luyện tập thường xuyên với các bài tập khác nhau. Hãy tìm kiếm thêm các tài liệu tham khảo và bài giảng trực tuyến để hiểu sâu hơn về chủ đề này.
Tusach.vn cung cấp nhiều tài liệu học tập và bài tập về đạo hàm, giúp bạn tự tin chinh phục môn Toán.
