Bài 3. Cấp số nhân

Cấp số nhân là một dãy số mà mỗi số hạng sau được tạo thành bằng cách nhân số hạng đứng trước với một số không đổi, gọi là công bội. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn toàn diện về cấp số nhân, bao gồm định nghĩa, tính chất, công thức và các ứng dụng thực tế.

1. Định nghĩa cấp số nhân

Một dãy số (u_n) được gọi là cấp số nhân nếu có một số q ≠ 0 sao cho u_n+1 = q.u_n với mọi n ≥ 1. Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

2. Các tính chất của cấp số nhân

• Nếu u₁ = a và q là công bội thì số hạng thứ n của cấp số nhân được tính bởi công thức: u_n = a.q^n-1
• Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân được tính bởi công thức:
• S_n = a(1 - qⁿ) / (1 - q) nếu q ≠ 1
• S_n = n.a nếu q = 1

3. Ví dụ minh họa

Xét cấp số nhân với u₁ = 2 và q = 3. Khi đó:

• u₂ = 2 * 3 = 6
• u₃ = 6 * 3 = 18
• u₄ = 18 * 3 = 54

Tổng của 4 số hạng đầu tiên là: S₄ = 2(1 - 3⁴) / (1 - 3) = 2(-80) / (-2) = 80

4. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho cấp số nhân có u₁ = 5 và q = -2. Tính u₅ và S₅.

Giải:

• u₅ = 5 * (-2)⁴ = 5 * 16 = 80
• S₅ = 5(1 - (-2)⁵) / (1 - (-2)) = 5(1 - (-32)) / 3 = 5 * 33 / 3 = 55

Bài 2: Tìm số hạng thứ 10 của cấp số nhân biết u₁ = 3 và u₄ = 24.

Giải:

Ta có u₄ = u₁ * q³ => 24 = 3 * q³ => q³ = 8 => q = 2

Vậy u₁₀ = u₁ * q⁹ = 3 * 2⁹ = 3 * 512 = 1536

5. Ứng dụng của cấp số nhân

Cấp số nhân có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ:

• Lãi kép: Tính toán số tiền lãi sau một thời gian nhất định với lãi suất cố định.
• Sự tăng trưởng dân số: Mô hình hóa sự tăng trưởng dân số theo thời gian.
• Phản ứng hạt nhân: Mô tả sự phân rã của các hạt nhân phóng xạ.

6. Tổng kết

Bài 3. Cấp số nhân cung cấp những kiến thức nền tảng về dãy số đặc biệt này. Việc nắm vững định nghĩa, tính chất và công thức sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và áp dụng vào thực tế.