Giải mục 3 trang 36, 37 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Trong Hình 3, những điểm nào trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác x có \(cosx = \frac{{ - 1}}{2}\)? Xác định số đo của các góc lượng giác đó.

Phương pháp giải:

Quan sát hình vẽ để trả lời.

Lời giải chi tiết:

Điểm biểu diễn góc lượng giác x có \(cosx = \frac{{ - 1}}{2}\) là M và N.

Số đo góc lượng giác có điểm biểu diễn M là: \(\frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Số đo góc lượng giác có điểm biểu diễn N là: \(\frac{{4\pi }}{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Giải các phương trình sau:

\(\begin{array}{l}a)\;cosx = - 3\\b)\;cosx = cos{15^o}\\c)\;cos(x + \frac{\pi }{{12}}) = cos\frac{{3\pi }}{{12}}\end{array}\)

Phương pháp giải:

Quan sát hình vẽ để trả lời.

Phương trình \({\rm{cosx}} = m\),

• Nếu \(\left| m \right| \le 1\) thì phương trình vô nghiệm.
• Nếu \(\left| m \right| \le 1\) thì phương trình có nghiệm:

Khi \(\left| m \right| \le 1\)sẽ tồn tại duy nhất \(\alpha \in \left[ {0;\pi } \right]\) thoả mãn \({\rm{cos}}\alpha = m\). Khi đó:

\({\rm{cosx}} = m \Leftrightarrow {\rm{cosx}} = {\rm{cos}}\alpha \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\(\cos x = \cos {\alpha ^o} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {\alpha ^o} + k{360^o}\\x = - {\alpha ^o} + k{360^o}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

a) Với mọi \(x \in \mathbb{R}\) ta có \( - 1 \le cosx \le 1\)

Vậy phương trình \(cosx = - 3\;\) vô nghiệm.

\(\begin{array}{l}b)\,\;cosx = cos{15^o}\;\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {15^o} + k{360^o},k \in \mathbb{Z}\\x = - {15^o} + k{360^o},k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = {15^o} + k{360^o}\) hoặc \(x = - {15^o} + k{360^o},k \in \mathbb{Z}\).

\(\begin{array}{l}c)\;\,cos(x + \frac{\pi }{{12}}) = cos\frac{{3\pi }}{{12}}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{{12}} = \frac{{3\pi }}{{12}} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\x + \frac{\pi }{{12}} = - \frac{{3\pi }}{{12}} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = \frac{\pi }{6} + k2\pi ,\) hoặc \(x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).