Bài 4 trang 99 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Tổng quan nội dung
Bài 4 trang 99 SGK Toán 11 Tập 1 - Chân trời sáng tạo
Bài 4 trang 99 SGK Toán 11 Tập 1 thuộc chương trình học Toán 11, tập trung vào việc ôn tập chương 1: Hàm số và đồ thị. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về các loại hàm số, tính đơn điệu, cực trị và ứng dụng để giải quyết các bài toán cụ thể.
tusach.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(E,F,G\) lần lượt là ba điểm trên ba cạnh \(AB,AC,BD\) sao cho \(EF\) cắt \(BC\) tại \(I\left( {I \ne C} \right)\), \(EG\) cắt \(A{\rm{D}}\) tại \(H\left( {H \ne D} \right)\).
Đề bài
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(E,F,G\) lần lượt là ba điểm trên ba cạnh \(AB,AC,BD\) sao cho \(EF\) cắt \(BC\) tại \(I\left( {I \ne C} \right)\), \(EG\) cắt \(A{\rm{D}}\) tại \(H\left( {H \ne D} \right)\).
a) Tìm giao tuyến của các mặt phẳng \(\left( {EFG} \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\); \(\left( {EFG} \right)\) và \(\left( {ACD} \right)\).
b) Chứng minh ba đường thẳng \(CD,IG,HF\) cùng đi qua một điểm.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng đó.
‒ Để chứng minh ba đường thẳng \(CD,IG,HF\) cùng đi qua một điểm, ta chứng minh \(H,F\) và giao điểm của \(CD,IG\) thẳng hàng bằng cách chứng minh ba điểm cùng nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng.
Lời giải chi tiết
a) Ta có:
\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}G \in \left( {EFG} \right)\\G \in BD \subset \left( {BCD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow G \in \left( {EFG} \right) \cap \left( {BCD} \right)\\\left. \begin{array}{l}I \in EF \subset \left( {EFG} \right)\\I \in BC \subset \left( {BCD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow I \in \left( {EFG} \right) \cap \left( {BCD} \right)\end{array}\)
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {EFG} \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\) là đường thẳng \(GI\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}F \in \left( {EFG} \right)\\F \in AC \subset \left( {ACD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow F \in \left( {EFG} \right) \cap \left( {ACD} \right)\\\left. \begin{array}{l}H \in EG \subset \left( {EFG} \right)\\H \in A{\rm{D}} \subset \left( {ACD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow H \in \left( {EFG} \right) \cap \left( {ACD} \right)\end{array}\)
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {EFG} \right)\) và \(\left( {ACD} \right)\) là đường thẳng \(HF\).
b) Gọi \(J\) là giao điểm của \(CD\) và \(IG\).
Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}J \in IG \subset \left( {EFG} \right)\\J \in C{\rm{D}} \subset \left( {ACD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow J \in \left( {EFG} \right) \cap \left( {ACD} \right)\)
Mà \(F \in \left( {EFG} \right) \cap \left( {ACD} \right),H \in \left( {EFG} \right) \cap \left( {ACD} \right)\) (theo chứng minh phần a).
Do đó ba điểm \(H,F,J\) thẳng hàng.
Vậy ba đường thẳng \(CD,IG,HF\) cùng đi điểm \(J\).
Bài 4 trang 99 SGK Toán 11 Tập 1 - Chân trời sáng tạo: Giải chi tiết và hướng dẫn
Bài 4 trang 99 SGK Toán 11 Tập 1 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, giúp học sinh củng cố kiến thức về hàm số và đồ thị. Dưới đây là lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập này:
Nội dung bài tập
Bài 4 yêu cầu học sinh xét hàm số f(x) = 2x3 - 3x2 + 1 và thực hiện các yêu cầu sau:
- Xác định tập xác định của hàm số.
- Tính đạo hàm f'(x).
- Tìm các điểm cực trị của hàm số.
- Khảo sát sự biến thiên của hàm số.
- Vẽ đồ thị hàm số.
Lời giải chi tiết
1. Tập xác định:
Hàm số f(x) = 2x3 - 3x2 + 1 là một hàm đa thức, do đó tập xác định của hàm số là D = ℝ.
2. Đạo hàm:
f'(x) = 6x2 - 6x
3. Điểm cực trị:
Để tìm điểm cực trị, ta giải phương trình f'(x) = 0:
6x2 - 6x = 0 ⇔ 6x(x - 1) = 0
Vậy, x = 0 hoặc x = 1.
Ta xét dấu của f'(x) trên các khoảng:
- Khi x < 0: f'(x) > 0, hàm số đồng biến.
- Khi 0 < x < 1: f'(x) < 0, hàm số nghịch biến.
- Khi x > 1: f'(x) > 0, hàm số đồng biến.
Vậy, hàm số đạt cực đại tại x = 0, f(0) = 1 và đạt cực tiểu tại x = 1, f(1) = 0.
4. Sự biến thiên:
Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (1; +∞), nghịch biến trên khoảng (0; 1).
Hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là 1.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, giá trị cực tiểu là 0.
5. Đồ thị hàm số:
Dựa vào các thông tin trên, ta có thể vẽ đồ thị hàm số f(x) = 2x3 - 3x2 + 1. Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0; 1), (1; 0) và có các điểm cực trị như đã xác định.
Lưu ý khi giải bài tập
- Nắm vững các khái niệm về hàm số, đạo hàm, cực trị và sự biến thiên của hàm số.
- Thực hiện các bước giải một cách cẩn thận và chính xác.
- Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính đúng đắn.
Hy vọng lời giải chi tiết này sẽ giúp các bạn hiểu rõ hơn về Bài 4 trang 99 SGK Toán 11 Tập 1 - Chân trời sáng tạo. Chúc các bạn học tốt!
Các bài tập tương tự
Để luyện tập thêm, các bạn có thể tham khảo các bài tập tương tự trong SGK Toán 11 Tập 1 - Chân trời sáng tạo và các tài liệu ôn tập khác.