Bài 3. Hàm số mũ. Hàm số lôgarit

Bài 3: Hàm Số Mũ và Hàm Số Lôgarit - Tổng Quan

Hàm số mũ và hàm số lôgarit là hai khái niệm cơ bản và quan trọng trong toán học, đặc biệt là trong chương trình Toán 12. Chúng xuất hiện thường xuyên trong các bài toán về tăng trưởng, suy giảm, và nhiều lĩnh vực khoa học khác. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn tổng quan về hai hàm số này, bao gồm định nghĩa, tính chất, đồ thị, và các ứng dụng thực tế.

1. Hàm Số Mũ

1.1. Định nghĩa

Hàm số mũ là hàm số có dạng y = a^x, trong đó:

• a là một số thực dương khác 1 (a > 0 và a ≠ 1) gọi là cơ số.
• x là biến số thực.

Ví dụ: y = 2^x, y = (1/2)^x, y = e^x (trong đó e ≈ 2.718 là cơ số của logarit tự nhiên).

1.2. Tính chất

• Hàm số mũ luôn xác định trên tập số thực ℝ.
• Nếu a > 1, hàm số mũ là hàm số đồng biến (tăng).
• Nếu 0 < a < 1, hàm số mũ là hàm số nghịch biến (giảm).
• Đồ thị hàm số mũ luôn đi qua điểm (0, 1).

1.3. Đồ thị hàm số mũ

Đồ thị hàm số y = a^x có các đặc điểm sau:

• Nếu a > 1: Đồ thị đi lên từ trái sang phải, tiệm cận với trục Ox.
• Nếu 0 < a < 1: Đồ thị đi xuống từ trái sang phải, tiệm cận với trục Ox.

2. Hàm Số Lôgarit

2.1. Định nghĩa

Hàm số lôgarit là hàm số nghịch đảo của hàm số mũ. Hàm số lôgarit có dạng y = log_ax, trong đó:

• a là một số thực dương khác 1 (a > 0 và a ≠ 1) gọi là cơ số.
• x là một số thực dương (x > 0).

Ví dụ: y = log₂x, y = log₁₀x, y = ln x (logarit tự nhiên với cơ số e).

2.2. Tính chất

• Hàm số lôgarit chỉ xác định với x > 0.
• Nếu a > 1, hàm số lôgarit là hàm số đồng biến (tăng).
• Nếu 0 < a < 1, hàm số lôgarit là hàm số nghịch biến (giảm).

2.3. Đồ thị hàm số lôgarit

Đồ thị hàm số y = log_ax có các đặc điểm sau:

• Nếu a > 1: Đồ thị đi lên từ trái sang phải, tiệm cận với trục Oy.
• Nếu 0 < a < 1: Đồ thị đi xuống từ trái sang phải, tiệm cận với trục Oy.

3. Mối quan hệ giữa Hàm Số Mũ và Hàm Số Lôgarit

Hàm số mũ và hàm số lôgarit có mối quan hệ mật thiết với nhau. Cụ thể:

• log_a(a^x) = x
• a^log_ax = x

4. Ứng dụng của Hàm Số Mũ và Hàm Số Lôgarit

Hàm số mũ và hàm số lôgarit có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

• Tăng trưởng dân số: Mô hình tăng trưởng dân số thường sử dụng hàm số mũ.
• Phân rã phóng xạ: Quá trình phân rã phóng xạ được mô tả bằng hàm số mũ.
• Lãi kép: Tính toán lãi kép sử dụng hàm số mũ.
• Đo cường độ âm thanh: Cường độ âm thanh được đo bằng decibel (dB) sử dụng hàm số lôgarit.
• Đo độ pH: Độ pH của một dung dịch được tính bằng hàm số lôgarit.

5. Bài tập vận dụng

Để củng cố kiến thức về hàm số mũ và hàm số lôgarit, bạn có thể thực hành các bài tập sau:

1. Giải phương trình: 2^x = 8
2. Giải phương trình: log₃(x + 1) = 2
3. Vẽ đồ thị hàm số y = 3^x và y = log₂x

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan và hữu ích về hàm số mũ và hàm số lôgarit. Chúc bạn học tập tốt!