Bài 5 trang 79 Toán 11 Tập 1 - Chân trời sáng tạo

Bài 5 trang 79 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Bài 5 trang 79 SGK Toán 11 Tập 1 - Chân trời sáng tạo

Bài 5 trang 79 SGK Toán 11 Tập 1 - Chân trời sáng tạo là bài tập thuộc chương trình học Toán 11, tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng về giới hạn của hàm số. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức đã học để giải quyết các bài toán cụ thể.

tusach.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.

Trong hồ có chứa 6000 lít nước ngọt. Người ta bơm nước biển có nồng độ muối là 30 gam/lít vào hồ với tốc độ 15 lít/phút.

Đề bài

Trong hồ có chứa 6000 lít nước ngọt. Người ta bơm nước biển có nồng độ muối là 30 gam/lít vào hồ với tốc độ 15 lít/phút.

a) Chứng tỏ rằng nồng độ muối của nước trong hồ sau \(t\) phút kể từ khi bắt đầu bơm là \(C\left( t \right) = \frac{{30t}}{{400 + t}}\)(gam/lít).

b) Nồng độ muối trong hồ như thế nào nếu \(t \to + \infty \).

Phương pháp giải - Xem chi tiết Bài 5 trang 79 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo 1

a) Dựa vào dữ kiện của đề bài, biểu thị mối liên hệ giữa các đại lượng khối lượng muối, lượng nước trong hồ và nồng độ muối để viết biểu thức \(C\left( t \right)\).

b) Vận dụng phương pháp tính giới hạn của hàm số tại vô cực:

Bước 1: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của tử và mẫu.

Bước 2: Tính các giới hạn của tử và mẫu rồi áp dụng các quy tắc tính giới hạn để tính giới hạn.

Lời giải chi tiết

a) Lượng nước biển bơm vào hồ sau \(t\) phút là: \(15t\) (lít).

Khối lượng muối có trong hồ sau \(t\) phút là: \(30.15t\) (gam).

Sau \(t\) phút kể từ khi bắt đầu bơm, lượng nước trong hồ là: \(6000 + 15t\) (lít).

Nồng độ muối tại thời điểm \(t\) phút kể từ khi bắt đầu bơm là: \(C\left( t \right) = \frac{{30.15t}}{{6000 + 15t}} = \frac{{30.15t}}{{15\left( {400 + t} \right)}} = \frac{{30t}}{{400 + t}}\)(gam/lít).

b) \(\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } C\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{30t}}{{400 + t}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{30t}}{{t\left( {\frac{{400}}{t} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{30}}{{\frac{{400}}{t} + 1}} = \frac{{30}}{{0 + 1}} = 30\) (gam/lít).

Vậy nồng độ muối trong hồ càng dần về 30 gam/lít, tức là nước trong hồ gần như là nước biển, khi \(t \to + \infty \).

Bài 5 trang 79 SGK Toán 11 Tập 1 - Chân trời sáng tạo: Giải chi tiết và hướng dẫn

Bài 5 trang 79 SGK Toán 11 Tập 1 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, giúp học sinh củng cố kiến thức về giới hạn của hàm số. Dưới đây là lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập này:

Nội dung bài tập

Bài tập yêu cầu tính giới hạn của các hàm số tại một điểm cho trước. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các định nghĩa và tính chất của giới hạn hàm số, cũng như các phương pháp tính giới hạn thường gặp.

Lời giải chi tiết

Để giải bài tập này, chúng ta sẽ sử dụng các phương pháp sau:

Phương pháp trực tiếp: Thay trực tiếp giá trị của x vào hàm số để tính giới hạn.
Phương pháp phân tích thành nhân tử: Phân tích tử số và mẫu số thành nhân tử để rút gọn biểu thức và tính giới hạn.
Phương pháp nhân liên hợp: Nhân tử số và mẫu số với liên hợp của biểu thức để khử dạng vô định.
Sử dụng các giới hạn đặc biệt: Áp dụng các giới hạn đặc biệt như lim (sin x)/x = 1 khi x -> 0.

Ví dụ: Giả sử bài tập yêu cầu tính lim (x -> 2) (x² - 4) / (x - 2). Chúng ta có thể giải bài tập này như sau:

Phân tích tử số thành nhân tử: x² - 4 = (x - 2)(x + 2)
Rút gọn biểu thức: (x² - 4) / (x - 2) = (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = x + 2
Tính giới hạn: lim (x -> 2) (x + 2) = 2 + 2 = 4

Lưu ý khi giải bài tập

Luôn kiểm tra xem biểu thức có dạng vô định hay không trước khi tính giới hạn.
Chọn phương pháp giải phù hợp với từng bài tập cụ thể.
Kiểm tra lại kết quả sau khi tính toán để đảm bảo tính chính xác.

Bài tập tương tự

Để rèn luyện thêm kỹ năng giải bài tập về giới hạn hàm số, bạn có thể tham khảo các bài tập tương tự sau:

Bài 1 trang 79 SGK Toán 11 Tập 1 - Chân trời sáng tạo
Bài 2 trang 80 SGK Toán 11 Tập 1 - Chân trời sáng tạo
Bài 3 trang 81 SGK Toán 11 Tập 1 - Chân trời sáng tạo

Kết luận

Bài 5 trang 79 SGK Toán 11 Tập 1 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về giới hạn hàm số. Bằng cách nắm vững các định nghĩa, tính chất và phương pháp tính giới hạn, học sinh có thể tự tin giải quyết các bài tập tương tự.

Chúc các bạn học tốt!