Bài 4 trang 50 Toán 11 Tập 1 - Chân trời sáng tạo

Bài 4 trang 50 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Bài 4 trang 50 SGK Toán 11 Tập 1 - Chân trời sáng tạo

Bài 4 trang 50 SGK Toán 11 Tập 1 thuộc chương trình Toán 11 Chân trời sáng tạo, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về hàm số và đồ thị để giải quyết các bài toán thực tế. Bài tập này đòi hỏi học sinh phải nắm vững các khái niệm về tập xác định, tập giá trị, tính đơn điệu và cực trị của hàm số.

tusach.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh hiểu rõ bản chất của bài toán và rèn luyện kỹ năng giải toán hiệu quả.

Xét tính bị chặn của các dãy số sau:

Đề bài

Xét tính bị chặn của các dãy số sau:

a) \(\left( {{a_n}} \right)\) với \({a_n} = {\sin ^2}\frac{{n\pi }}{3} + \cos \frac{{n\pi }}{4}\);

b) \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{6n - 4}}{{n + 2}}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết Bài 4 trang 50 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo 1

a) Sử dụng tính chất của hàm lượng giác.

b) Sử dụng tính chất của bất đẳng thức.

Lời giải chi tiết

a) \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) ta có:

\(\left. \begin{array}{l}0 \le {\sin ^2}\frac{{n\pi }}{3} \le 1\\ - 1 \le \cos \frac{{n\pi }}{4} \le 1\end{array} \right\} \Leftrightarrow 0 + \left( { - 1} \right) \le {\sin ^2}\frac{{n\pi }}{3} + \cos \frac{{n\pi }}{4} \le 1 + 1 \Leftrightarrow - 1 \le {a_n} \le 2\).

Vậy dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\) bị chặn.

b) Ta có: \({u_n} = \frac{{6n - 4}}{{n + 2}} = \frac{{6\left( {n + 2} \right) - 16}}{{n + 2}} = 6 - \frac{{16}}{{n + 2}}\)

\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) ta có:

\(n + 2 > 0 \Leftrightarrow \frac{{16}}{{n + 2}} > 0 \Leftrightarrow 6 - \frac{{16}}{{n + 2}} < 6 \Leftrightarrow {u_n} < 6\). Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên.

\(n \ge 1 \Leftrightarrow n + 2 \ge 1 + 2 \Leftrightarrow n + 2 \ge 3 \Leftrightarrow \frac{{16}}{{n + 2}} \le \frac{{16}}{3} \Leftrightarrow 6 - \frac{{16}}{{n + 2}} \ge 6 - \frac{{16}}{3} \Leftrightarrow {u_n} \ge \frac{2}{3}\)

Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới.

Ta thấy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên và bị chặn dưới nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.

Bài 4 trang 50 SGK Toán 11 Tập 1 - Chân trời sáng tạo: Giải chi tiết và hướng dẫn

Bài 4 trang 50 SGK Toán 11 Tập 1 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng trong chương trình học, giúp học sinh củng cố kiến thức về hàm số bậc hai và ứng dụng của nó. Dưới đây là giải chi tiết bài tập này, cùng với những hướng dẫn hữu ích để bạn có thể tự giải quyết các bài toán tương tự.

Nội dung bài tập

Bài 4 yêu cầu chúng ta xét hàm số f(x) = x² - 4x + 3 và thực hiện các yêu cầu sau:

Xác định tập xác định của hàm số.
Tìm tọa độ đỉnh của parabol.
Tìm trục đối xứng của parabol.
Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Vẽ đồ thị của hàm số.

Giải chi tiết

1. Tập xác định:

Hàm số f(x) = x² - 4x + 3 là một hàm đa thức, do đó tập xác định của hàm số là tập số thực, ký hiệu là R.

2. Tọa độ đỉnh của parabol:

Hàm số có dạng f(x) = ax² + bx + c, với a = 1, b = -4, c = 3. Tọa độ đỉnh của parabol là:

x_đỉnh = -b / (2a) = -(-4) / (2 * 1) = 2
y_đỉnh = f(x_đỉnh) = f(2) = 2² - 4 * 2 + 3 = -1

Vậy tọa độ đỉnh của parabol là (2; -1).

3. Trục đối xứng của parabol:

Trục đối xứng của parabol là đường thẳng có phương trình x = x_đỉnh = 2.

4. Khoảng đồng biến, nghịch biến:

Vì a = 1 > 0, parabol có hướng mở lên trên. Do đó:

Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; 2)
Hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞)

5. Vẽ đồ thị của hàm số:

Để vẽ đồ thị, ta cần xác định một vài điểm thuộc đồ thị ngoài đỉnh. Ví dụ:

x = 0 => f(0) = 3 => Điểm (0; 3)
x = 1 => f(1) = 0 => Điểm (1; 0)
x = 3 => f(3) = 0 => Điểm (3; 0)
x = 4 => f(4) = 3 => Điểm (4; 3)

Vẽ parabol đi qua các điểm này, với đỉnh là (2; -1) và trục đối xứng là x = 2.

Lưu ý quan trọng

Khi giải các bài toán về hàm số bậc hai, bạn cần nắm vững các công thức và tính chất cơ bản của hàm số. Việc vẽ đồ thị hàm số giúp bạn hiểu rõ hơn về tính chất của hàm số và ứng dụng của nó trong thực tế.

Bài tập tương tự

Để rèn luyện kỹ năng giải toán, bạn có thể thử giải các bài tập tương tự sau:

Bài 5 trang 50 SGK Toán 11 Tập 1 - Chân trời sáng tạo
Bài 6 trang 50 SGK Toán 11 Tập 1 - Chân trời sáng tạo

Chúc bạn học tốt!