Bài 3 trang 112 Toán 11 Tập 1 - Chân trời sáng tạo

Bài 3 trang 112 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Bài 3 trang 112 SGK Toán 11 Tập 1 - Chân trời sáng tạo

Bài 3 thuộc chương trình học Toán 11 Tập 1, sách Chân trời sáng tạo, tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng giải quyết các bài toán liên quan đến giới hạn của hàm số. Bài tập này giúp học sinh củng cố kiến thức đã học và chuẩn bị cho các bài học tiếp theo.

tusach.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.

Cho hình chóp (S.ABCD) có đáy (ABCD) là hình bình hành và một điểm (M) di động trên cạnh (AD). Một mặt phẳng (left( alpha right)) qua (M), song song với (C{rm{D}}) và (SA), cắt (BC,SC,SD) lần lượt tại (N,P,Q).

Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành và một điểm \(M\) di động trên cạnh \(AD\). Một mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) qua \(M\), song song với \(C{\rm{D}}\) và \(SA\), cắt \(BC,SC,SD\) lần lượt tại \(N,P,Q\).

a) \(MNPQ\) là hình gì?

b) Gọi \(I = MQ \cap NP\). Chứng minh rằng \(I\) luôn luôn thuộc một đường thẳng cố định khi \(M\) di động trên \(AD\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết Bài 3 trang 112 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo 1

Áp dụng định lí 2 về giao tuyến của ba mặt phẳng: Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.

Lời giải chi tiết

Bài 3 trang 112 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo 2

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}MN = \left( \alpha \right) \cap \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\\C{\rm{D}} = \left( {SC{\rm{D}}} \right) \cap \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\\PQ = \left( \alpha \right) \cap \left( {SC{\rm{D}}} \right)\\MN\parallel C{\rm{D}}\end{array}\)

Do đó theo định lí 2 về giao tuyến của ba mặt phẳng ta có: \(MN\parallel C{\rm{D}}\parallel PQ\).

\( \Rightarrow MNPQ\) là hình thang.

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}I \in MQ \Rightarrow I \in \left( {SA{\rm{D}}} \right)\\I \in NP \Rightarrow I \in \left( {SBC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow I \in \left( {SA{\rm{D}}} \right) \cap \left( {SBC} \right)\\ \Rightarrow SI = \left( {SA{\rm{D}}} \right) \cap \left( {SBC} \right)\\A{\rm{D}} = \left( {SA{\rm{D}}} \right) \cap \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\\BC = \left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\\BC\parallel A{\rm{D}}\end{array}\)

Do đó theo định lí 2 về giao tuyến của ba mặt phẳng ta có: \(A{\rm{D}}\parallel BC\parallel SI\).

Vậy \(I\) luôn luôn thuộc đường thẳng \(d\) đi qua \(S\) song song với \(AD\) và \(BC\) cố định khi \(M\) di động trên \(AD\).

Bài 3 trang 112 SGK Toán 11 Tập 1 - Chân trời sáng tạo: Giải chi tiết và hướng dẫn

Bài 3 trang 112 SGK Toán 11 Tập 1 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng trong chương trình học về giới hạn của hàm số. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về giới hạn một bên, giới hạn tại vô cùng để giải quyết các bài toán cụ thể. Dưới đây là lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập này:

Nội dung bài tập

Bài 3 yêu cầu tính các giới hạn sau:

a) lim_x→2 (x² - 3x + 2) / (x - 2)
b) lim_x→-1 (x³ + 1) / (x + 1)
c) lim_x→0 sin(5x) / x
d) lim_x→+∞ (2x² + 3x - 1) / (x² + 2)

Lời giải chi tiết

a) lim_x→2 (x² - 3x + 2) / (x - 2)

Ta có: x² - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2). Do đó:

lim_x→2 (x² - 3x + 2) / (x - 2) = lim_x→2 (x - 1)(x - 2) / (x - 2) = lim_x→2 (x - 1) = 2 - 1 = 1

b) lim_x→-1 (x³ + 1) / (x + 1)

Ta có: x³ + 1 = (x + 1)(x² - x + 1). Do đó:

lim_x→-1 (x³ + 1) / (x + 1) = lim_x→-1 (x + 1)(x² - x + 1) / (x + 1) = lim_x→-1 (x² - x + 1) = (-1)² - (-1) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3

c) lim_x→0 sin(5x) / x

Đặt t = 5x. Khi x → 0 thì t → 0. Do đó:

lim_x→0 sin(5x) / x = lim_t→0 sin(t) / (t/5) = 5 * lim_t→0 sin(t) / t = 5 * 1 = 5

d) lim_x→+∞ (2x² + 3x - 1) / (x² + 2)

Chia cả tử và mẫu cho x², ta được:

lim_x→+∞ (2x² + 3x - 1) / (x² + 2) = lim_x→+∞ (2 + 3/x - 1/x²) / (1 + 2/x²) = (2 + 0 - 0) / (1 + 0) = 2

Lưu ý khi giải bài tập về giới hạn

Sử dụng các công thức giới hạn cơ bản: lim_x→0 sin(x)/x = 1, lim_x→0 (1 - cos(x))/x = 0
Phân tích tử và mẫu thành nhân tử để rút gọn biểu thức.
Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của x khi tính giới hạn tại vô cùng.
Áp dụng quy tắc L'Hopital khi gặp dạng vô định.

Bài tập tương tự

Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập tương tự trong SGK Toán 11 Tập 1 - Chân trời sáng tạo hoặc các đề thi thử Toán 11.

tusach.vn hy vọng với lời giải chi tiết này, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về cách giải Bài 3 trang 112 SGK Toán 11 Tập 1 - Chân trời sáng tạo và tự tin hơn trong các kỳ thi sắp tới.