Bài 2: Biến cố hợp và Quy tắc cộng xác suất
Trong lý thuyết xác suất, việc hiểu rõ các phép toán trên biến cố là vô cùng quan trọng. Bài viết này sẽ tập trung vào biến cố hợp và quy tắc cộng xác suất, cung cấp kiến thức nền tảng và các ví dụ minh họa để bạn dễ dàng nắm bắt.
1. Biến cố hợp là gì?
Biến cố hợp (Union of events) của hai biến cố A và B, ký hiệu là A ∪ B, là biến cố xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra. Nói cách khác, A ∪ B xảy ra nếu A xảy ra, B xảy ra, hoặc cả A và B cùng xảy ra.
Ví dụ:
- A: Tung đồng xu được mặt ngửa.
- B: Tung đồng xu được mặt sấp.
- A ∪ B: Tung đồng xu được mặt ngửa hoặc mặt sấp (chắc chắn xảy ra).
2. Quy tắc cộng xác suất
Quy tắc cộng xác suất cho phép chúng ta tính xác suất của biến cố hợp A ∪ B. Có hai trường hợp cần xem xét:
2.1. Biến cố xung khắc (Mutually Exclusive Events)
Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu chúng không thể xảy ra đồng thời. Tức là, A ∩ B = ∅ (tập rỗng).
Trong trường hợp này, quy tắc cộng xác suất được đơn giản hóa:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Ví dụ:
Tung một con xúc xắc sáu mặt.
- A: Xuất hiện mặt 1.
- B: Xuất hiện mặt 2.
A và B là hai biến cố xung khắc. Xác suất để xuất hiện mặt 1 hoặc mặt 2 là:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 1/6 + 1/6 = 1/3
2.2. Biến cố không xung khắc (Non-Mutually Exclusive Events)
Hai biến cố A và B được gọi là không xung khắc nếu chúng có thể xảy ra đồng thời. Tức là, A ∩ B ≠ ∅.
Trong trường hợp này, quy tắc cộng xác suất được mở rộng:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
Ví dụ:
Rút một lá bài từ bộ bài 52 lá.
- A: Rút được lá Át.
- B: Rút được lá Cơ.
A và B là hai biến cố không xung khắc (vì có lá Át Cơ). Xác suất để rút được lá Át hoặc lá Cơ là:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 4/52 + 13/52 - 1/52 = 16/52 = 4/13
3. Ứng dụng của quy tắc cộng xác suất
Quy tắc cộng xác suất có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:
- Thống kê y học: Tính xác suất mắc một trong nhiều bệnh.
- Kinh tế: Đánh giá rủi ro trong đầu tư.
- Khoa học máy tính: Tính xác suất xảy ra lỗi trong hệ thống.
4. Bài tập vận dụng
Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng. Tính xác suất để lấy được ít nhất một quả bóng đỏ.
Giải:
Gọi A là biến cố lấy được ít nhất một quả bóng đỏ.
A' là biến cố không lấy được quả bóng đỏ nào (tức là lấy được 2 quả bóng xanh).
P(A') = C(3,2) / C(8,2) = 3/28
P(A) = 1 - P(A') = 1 - 3/28 = 25/28
5. Kết luận
Bài 2 đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản về biến cố hợp và quy tắc cộng xác suất. Việc nắm vững những khái niệm này là nền tảng quan trọng để hiểu sâu hơn về lý thuyết xác suất và ứng dụng nó trong các lĩnh vực khác nhau. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để củng cố kiến thức nhé!
