Bài 1. Đạo hàm

Bài 1. Đạo Hàm: Tổng Quan và Các Khái Niệm Cơ Bản

Đạo hàm là một công cụ mạnh mẽ trong toán học, đặc biệt là trong giải tích. Nó cho phép chúng ta đo lường tốc độ thay đổi của một hàm số tại một điểm cụ thể. Hiểu rõ về đạo hàm là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán phức tạp trong các lĩnh vực khác nhau như vật lý, kinh tế, và kỹ thuật.

1. Định Nghĩa Đạo Hàm

Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x₀, ký hiệu là f'(x₀), được định nghĩa là giới hạn:

f'(x₀) = lim_h→0 [f(x₀ + h) - f(x₀)] / h

Nếu giới hạn này tồn tại, ta nói hàm số f(x) khả vi tại điểm x₀.

2. Ý Nghĩa Hình Học của Đạo Hàm

Đạo hàm f'(x₀) biểu diễn độ dốc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số f(x) tại điểm có hoành độ x₀. Điều này có nghĩa là đạo hàm cho chúng ta biết hàm số đang tăng hay giảm tại điểm đó.

3. Các Quy Tắc Tính Đạo Hàm Cơ Bản

Để tính đạo hàm một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các quy tắc sau:

• Quy tắc đạo hàm của hằng số: (c)' = 0
• Quy tắc đạo hàm của hàm số lũy thừa: (xⁿ)' = nx^n-1
• Quy tắc đạo hàm của tổng/hiệu: (u ± v)' = u' ± v'
• Quy tắc đạo hàm của tích: (uv)' = u'v + uv'
• Quy tắc đạo hàm của thương: (u/v)' = (u'v - uv') / v²
• Quy tắc đạo hàm của hàm hợp: (f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)

Bài Tập Vận Dụng

Dưới đây là một số bài tập để bạn luyện tập và củng cố kiến thức về đạo hàm:

1. Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 3x² + 2x - 1
2. Tính đạo hàm của hàm số g(x) = (x² + 1) / (x - 1)
3. Tìm đạo hàm của hàm số h(x) = sin(2x)

Đáp án:

1. f'(x) = 6x + 2
2. g'(x) = (x² - 2x - 1) / (x - 1)²
3. h'(x) = 2cos(2x)

4. Ứng Dụng của Đạo Hàm

Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

• Tìm cực trị của hàm số: Đạo hàm giúp chúng ta xác định các điểm mà hàm số đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
• Khảo sát sự biến thiên của hàm số: Đạo hàm cho chúng ta biết hàm số đang tăng, giảm, hoặc không đổi trên một khoảng nào đó.
• Giải các bài toán tối ưu hóa: Đạo hàm được sử dụng để tìm ra các giá trị tối ưu cho các bài toán thực tế.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan về Bài 1. Đạo Hàm. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và áp dụng chúng vào giải quyết các bài toán cụ thể. Chúc bạn học tập tốt!