Lý Thuyết Cấp Số Nhân - Toán 11 Chân Trời Sáng Tạo

Lý thuyết Cấp số nhân - SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Cấp số nhân - Toán 11 Chân trời sáng tạo

Cấp số nhân là một trong những chủ đề quan trọng trong chương trình Toán 11, đặc biệt là trong sách giáo khoa Chân trời sáng tạo.

Bài viết này sẽ cung cấp đầy đủ và chi tiết lý thuyết về cấp số nhân, bao gồm định nghĩa, các tính chất, công thức tổng quát và các ứng dụng thực tế.

1. Cấp số nhân

1. Cấp số nhân

Cấp số nhân là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng ngay trước nó với một số không đổi q, nghĩa là:

\({u_n} = {u_{n - 1}}.q,n \in {\mathbb{N}^*}\)

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

* Chú ý: Dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân thì \({u_k}^2 = {u_{k - 1}}.{u_{k + 1}}\left( {k \ge 2} \right)\).

2. Số hạng tổng quát của cấp số nhân

Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội q thì số hạng tổng quát \({u_n}\)của nó được xác định bởi công thức

\({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}},n \ge 2\)

3. Tổng của n số hạng đầu của một cấp số nhân

Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\)với công bội \(q \ne 1\). Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_n}\). Khi đó

\({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\)

Lý thuyết Cấp số nhân - SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo 1

Lý Thuyết Cấp Số Nhân - SGK Toán 11 Chân Trời Sáng Tạo

Cấp số nhân là một dãy số mà mỗi số hạng sau được tạo thành bằng cách nhân số hạng đứng trước với một số không đổi, khác 0, gọi là công bội. Đây là một khái niệm cơ bản nhưng vô cùng quan trọng trong toán học, có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

1. Định Nghĩa Cấp Số Nhân

Một dãy số (u_n) được gọi là cấp số nhân nếu có một số thực q ≠ 0 sao cho:

u_n+1 = q.u_n với mọi n ≥ 1

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

2. Các Tính Chất Của Cấp Số Nhân

Nếu u₁ = a và q là công bội thì số hạng tổng quát của cấp số nhân là: u_n = a.q^n-1
Nếu u_n = 0 thì u_n+1 = 0 với mọi n ≥ 1.
Nếu u_n ≠ 0 với mọi n thì:
- u_n+k = u_n.q^k

3. Tổng Của n Số Đẩu Tiên Của Cấp Số Nhân

Tổng của n số đầu tiên của cấp số nhân (S_n) được tính theo công thức:

S_n = u₁.(1 - qⁿ) / (1 - q) (với q ≠ 1)

Nếu q = 1 thì S_n = n.u₁

4. Các Dạng Toán Thường Gặp

Tìm số hạng tổng quát: Sử dụng công thức u_n = a.q^n-1.
Tìm công bội: Sử dụng công thức u_n+1 = q.u_n.
Tìm tổng của n số đầu tiên: Sử dụng công thức S_n = u₁.(1 - qⁿ) / (1 - q).
Ứng dụng vào các bài toán thực tế: Ví dụ: tính số tiền lãi sau một số kỳ hạn, tính sự tăng trưởng dân số,...

5. Ví Dụ Minh Họa

Cho cấp số nhân với u₁ = 2 và q = 3. Hãy tìm số hạng thứ 5 và tổng của 5 số đầu tiên.

Giải:

Số hạng thứ 5: u₅ = u₁.q⁴ = 2.3⁴ = 162
Tổng của 5 số đầu tiên: S₅ = u₁.(1 - q⁵) / (1 - q) = 2.(1 - 3⁵) / (1 - 3) = 2.(1 - 243) / (-2) = 242

6. Luyện Tập Thêm

Để nắm vững kiến thức về cấp số nhân, bạn nên luyện tập thêm các bài tập khác nhau. Dưới đây là một số dạng bài tập thường gặp:

Tìm số hạng thứ n của cấp số nhân khi biết u₁ và q.
Tìm công bội của cấp số nhân khi biết u₁ và u_n.
Tìm tổng của n số đầu tiên của cấp số nhân.
Giải các bài toán ứng dụng liên quan đến cấp số nhân.

7. Tài Liệu Tham Khảo

Ngoài sách giáo khoa Toán 11 Chân trời sáng tạo, bạn có thể tham khảo thêm các tài liệu sau:

Sách bài tập Toán 11
Các trang web học toán trực tuyến
Các video bài giảng trên YouTube

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về Lý thuyết Cấp số nhân - SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo. Chúc bạn học tập tốt!

Lý thuyết Cấp số nhân - SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo