Cho hai đường thẳng \(a\) và \(b\) cắt nhau tại \(O\) và điểm \(M\) không thuộc \(mp\left( {a,b} \right)\).
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {M,a} \right)\) và \(\left( {M,b} \right)\).
b) Lấy \(A,B\) lần lượt là hai điểm trên \(a,b\) và khác với điểm \(O\). Tìm giao tuyến của \(\left( {MAB} \right)\) và \(mp\left( {a,b} \right)\).
c) Lấy điểm \(A'\) trên đoạn \(MA\) và điểm \(B'\) trên đoạn \(MB\) sao cho đường thẳng \(A'B'\) cắt \(mp\left( {a,b} \right)\) tại \(C\). Chứng minh ba điểm \(A,B,C\) thẳng hàng.
Phương pháp giải:
‒ Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng đó.
‒ Để chứng minh ba điểm thẳng hàng, ta chứng minh ba điểm đó cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có:
\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}M \in \left( {M,a} \right)\\M \in \left( {M,b} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow M \in \left( {M,a} \right) \cap \left( {M,b} \right)\\\left. \begin{array}{l}O \in a \subset \left( {M,a} \right)\\O \in b \subset \left( {M,b} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow O \in \left( {M,a} \right) \cap \left( {M,b} \right)\end{array}\)
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {M,a} \right)\) và \(\left( {M,b} \right)\) là đường thẳng \(MO\).
b) Ta có:
\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}A \in \left( {MAB} \right)\\A \in a \subset \left( {a,b} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow A \in \left( {MAB} \right) \cap \left( {a,b} \right)\\\left. \begin{array}{l}B \in \left( {MAB} \right)\\B \in b \subset \left( {a,b} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow B \in \left( {MAB} \right) \cap \left( {a,b} \right)\end{array}\)
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {MAB} \right)\) và \(\left( {a,b} \right)\) là đường thẳng \(AB\) (1).
c) Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}A' \in MA \subset \left( {MAB} \right)\\B' \in MB \subset \left( {MAB} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow A'B' \subset \left( {MAB} \right)\)
Vì \(C \in A'B' \subset \left( {MAB} \right)\) và \(C \in mp\left( {a,b} \right)\) nên điểm \(C\) nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {MAB} \right)\) và \(\left( {a,b} \right)\) (2).
Từ (1) và (2) suy ra ba điểm \(A,B,C\) thẳng hàng.
