Bài 5 trang 60 Toán 11 Tập 1 - Chân trời sáng tạo

Bài 5 trang 60 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Bài 5 trang 60 SGK Toán 11 Tập 1 - Chân trời sáng tạo

Bài 5 trang 60 SGK Toán 11 Tập 1 thuộc chương trình học Toán 11, tập trung vào việc ôn tập chương 1: Hàm số và đồ thị. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về các loại hàm số, tính đơn điệu, cực trị và ứng dụng để giải quyết các bài toán cụ thể.

tusach.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán hiệu quả.

Tính các tổng sau:

Đề bài

Tính các tổng sau:

a) \({S_n} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{3^n}}}\);

b) \({S_n} = 9 + 99 + 999 + ... + \underbrace {99...9}_{n\,\,chu\,\,so\,\,9}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết Bài 5 trang 60 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo 1

Sử dụng công thức tính tổng \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q\) là: \({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\).

Lời giải chi tiết

a) Tổng \({S_n}\) là tổng của cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 1\) và công bội \(q = \frac{1}{3}\) nên ta có:

\({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{1\left( {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n}} \right)}}{{1 - \frac{1}{3}}} = \frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n}}}{{\frac{2}{3}}} = \frac{3}{2}\left( {1 - \frac{1}{{{3^n}}}} \right) = \frac{3}{2} - \frac{1}{{{{2.3}^{n - 1}}}}\)

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}{S_n} = 9 + 99 + 999 + ... + \underbrace {99...9}_{n\,\,chu\,\,so\,\,9} = \left( {10 - 1} \right) + \left( {100 - 1} \right) + \left( {1000 - 1} \right) + ... + \left( {\underbrace {100...0}_{n\,\,chu\,\,so\,\,0} - 1} \right)\\ = \left( {10 + 100 + 1000 + ... + \underbrace {100...0}_{n\,\,chu\,\,so\,\,0}} \right) - n\end{array}\)

Tổng \(10 + 100 + 1000 + ... + \underbrace {100...0}_{n\,\,chu\,\,so\,\,0}\) là tổng của cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 10\) và công bội \(q = 10\) nên ta có:

\(10 + 100 + 1000 + ... + \underbrace {100...0}_{n\,\,chu\,\,s\^o \,\,0} = \frac{{10\left( {1 - {{10}^n}} \right)}}{{1 - 10}} = \frac{{10 - {{10}^{n + 1}}}}{{ - 9}} = \frac{{{{10}^{n + 1}} - 10}}{9}\)

Vậy \({S_n} = \frac{{{{10}^{n + 1}} - 10}}{9} - n = \frac{{{{10}^{n + 1}} - 10 - 9n}}{9}\)

Bài 5 trang 60 SGK Toán 11 Tập 1 - Chân trời sáng tạo: Giải chi tiết và hướng dẫn

Bài 5 trang 60 SGK Toán 11 Tập 1 - Chân trời sáng tạo là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11, giúp học sinh củng cố kiến thức về hàm số và đồ thị. Dưới đây là lời giải chi tiết và hướng dẫn giải bài tập này:

Nội dung bài tập

Bài 5 yêu cầu học sinh xét hàm số f(x) = 2x³ - 3x² + 1 và thực hiện các yêu cầu sau:

Xác định tập xác định của hàm số.
Tính f(0), f(1), f(2).
Tìm các điểm uốn, cực đại, cực tiểu của hàm số.
Vẽ đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết

1. Tập xác định:

Hàm số f(x) = 2x³ - 3x² + 1 là một hàm đa thức, do đó tập xác định của hàm số là D = ℝ.

2. Tính f(0), f(1), f(2):

f(0) = 2(0)³ - 3(0)² + 1 = 1
f(1) = 2(1)³ - 3(1)² + 1 = 0
f(2) = 2(2)³ - 3(2)² + 1 = 16 - 12 + 1 = 5

3. Tìm cực trị:

Để tìm cực trị, ta thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm cấp nhất: f'(x) = 6x² - 6x
Giải phương trình f'(x) = 0: 6x² - 6x = 0 ⇔ 6x(x - 1) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1
Tính đạo hàm cấp hai: f''(x) = 12x - 6
Kiểm tra dấu của f''(x) tại các điểm cực trị:
- f''(0) = -6 < 0 ⇒ Hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là f(0) = 1
- f''(1) = 6 > 0 ⇒ Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, giá trị cực tiểu là f(1) = 0

4. Tìm điểm uốn:

Để tìm điểm uốn, ta giải phương trình f''(x) = 0: 12x - 6 = 0 ⇔ x = 1/2

Kiểm tra dấu của f'''(x) tại x = 1/2: f'''(x) = 12 ≠ 0 ⇒ Hàm số có điểm uốn tại x = 1/2, giá trị điểm uốn là f(1/2) = 2(1/2)³ - 3(1/2)² + 1 = 1/4 - 3/4 + 1 = 1/2

Vẽ đồ thị hàm số

Dựa vào các thông tin đã tính toán, ta có thể vẽ đồ thị hàm số f(x) = 2x³ - 3x² + 1. Đồ thị hàm số có các đặc điểm sau:

Đi qua các điểm (0, 1), (1, 0), (2, 5)
Đạt cực đại tại (0, 1)
Đạt cực tiểu tại (1, 0)
Có điểm uốn tại (1/2, 1/2)

Lưu ý:

Để hiểu rõ hơn về bài tập này, học sinh nên xem lại các kiến thức về hàm số, đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc tìm cực trị và điểm uốn. Ngoài ra, việc vẽ đồ thị hàm số cũng giúp học sinh hình dung rõ hơn về tính chất của hàm số.

Tusach.vn hy vọng với lời giải chi tiết này, các bạn học sinh sẽ hiểu rõ hơn về Bài 5 trang 60 SGK Toán 11 Tập 1 - Chân trời sáng tạo và có thể tự tin giải các bài tập tương tự.