Lý Thuyết Trung Vị & Tứ Phân Vị - Toán 11 Chân Trời Sáng Tạo

Lý thuyết Trung vị và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm - SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Trung vị và Tứ phân vị - Nền tảng Thống kê Toán 11

Trong chương trình Toán 11, phần Lý thuyết Trung vị và Tứ phân vị đóng vai trò quan trọng trong việc hiểu rõ các khái niệm cơ bản của thống kê.

Bài viết này sẽ cung cấp kiến thức chi tiết về cách tính trung vị và tứ phân vị cho mẫu số liệu ghép nhóm, dựa trên nội dung SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo.

Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá các công thức, ví dụ minh họa và bài tập thực hành để nắm vững kiến thức này.

1. Trung vị

1. Trung vị

Công thức xác định trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm:

Gọi n là cỡ mẫu.
Giả sử đó là nhóm thứ p: \({\rm{[}}{u_m};{u_{m + 1}})\).
\({n_m}\)là tần số của nhóm chứa trung vị.
\(C = {n_1} + {n_2} + ... + {n_{m - 1}}\).

Khi đó trung vị là:

\({M_e} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{2} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right)\)

* Ý nghĩa: Từ dữ liệu ghép nhóm nói chung không thể xác định chính xác trung vị của mẫu số liệu gốc. Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ cho mẫu số liệu gốc và có thể lấy làm giá trị đại diện cho mẫu số liệu.

2. Tứ phân vị

- Để tính tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) của mẫu số liệu ghép nhóm, ta làm như sau:

Giả sử nhóm chứa \({Q_1}\) là nhóm \({\rm{[}}{u_m};{u_{m + 1}})\).
\({n_m}\) là tần số của nhóm chứa phân vị thứ nhất.
\(C = {n_1} + {n_2} + ... + {n_{m - 1}}\).

Khi đó,

\({Q_1} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{4} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right)\)

- Để tính tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) của mẫu số liệu ghép nhóm, ta làm như sau:

Giả sử nhóm chứa \({Q_3}\) là nhóm \({\rm{[}}{{\rm{u}}_j};{u_{j + 1}})\).
\({n_j}\)là tần số của nhóm chứa phân vị thứ nhất.
\(C = {n_1} + {n_2} + ... + {n_{j - 1}}\).

Khi đó,

\({Q_3} = {u_j} + \frac{{\frac{{3n}}{4} - C}}{{{n_j}}}.\left( {{u_{j + 1}} - {u_j}} \right)\)

- Tứ phân vị thứ hai \({Q_2}\) chính là trung vị \({M_e}\).

- Nếu tứ phân vị thứ k là \(\frac{1}{2}\left( {{x_m} + {x_{m + 1}}} \right)\), trong đó \({x_m}\) và \({x_{m + 1}}\)thuộc hai nhóm liên tiếp thì ta lấy \({Q_k} = {u_j}\).

* Ý nghĩa:

Bộ ba tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là giá tị xấp xỉ cho tứ phân vị của mẫu số liệu gốc và được sử dụng làm giá trị đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu.

Lý thuyết Trung vị và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm - SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo 1

Lý Thuyết Trung Vị và Tứ Phân Vị của Mẫu Số Liệu Ghép Nhóm - SGK Toán 11 Chân Trời Sáng Tạo

Trong thống kê, việc mô tả và phân tích dữ liệu là vô cùng quan trọng. Trung vị và tứ phân vị là những số đo vị trí giúp chúng ta hiểu rõ hơn về sự phân bố của dữ liệu, đặc biệt là khi làm việc với mẫu số liệu ghép nhóm.

1. Giới thiệu chung về số đo vị trí

Số đo vị trí là các giá trị đại diện cho vị trí của một phần tử trong tập dữ liệu đã được sắp xếp theo thứ tự. Chúng giúp chúng ta xác định các giá trị điển hình, phân chia dữ liệu thành các phần bằng nhau và đánh giá mức độ tập trung của dữ liệu.

2. Trung vị (Median)

Trung vị là giá trị nằm chính giữa của tập dữ liệu đã được sắp xếp theo thứ tự. Nó chia tập dữ liệu thành hai phần bằng nhau, với một nửa số dữ liệu nhỏ hơn hoặc bằng trung vị và một nửa số dữ liệu lớn hơn hoặc bằng trung vị.

Cách tính trung vị cho mẫu số liệu không ghép nhóm: Sắp xếp dữ liệu theo thứ tự tăng dần (hoặc giảm dần). Nếu số lượng phần tử là lẻ, trung vị là giá trị ở giữa. Nếu số lượng phần tử là chẵn, trung vị là trung bình cộng của hai giá trị ở giữa.
Cách tính trung vị cho mẫu số liệu ghép nhóm:

Nhóm	Giới hạn dưới	Giới hạn trên	Tần số (ni)	Tần số tích lũy (N)
1	a1	a2	n1	N1
2	a2	a3	n2	N2
...	...	...	...	...
k	ak-1	ak	nk	N

Trung vị (M) được tính theo công thức: M = x_k + [(N/2 - N_k-1)/n_k] * h, trong đó:

x_k là giới hạn dưới của nhóm chứa trung vị
N là tổng tần số
N_k-1 là tần số tích lũy của nhóm trước nhóm chứa trung vị
n_k là tần số của nhóm chứa trung vị
h là khoảng lớp (a_k - a_k-1)

3. Tứ phân vị (Quartiles)

Tứ phân vị là các giá trị chia tập dữ liệu đã được sắp xếp thành bốn phần bằng nhau. Có ba tứ phân vị:

Q1 (Tứ phân vị thứ nhất): Chia 25% dữ liệu nhỏ nhất với 75% dữ liệu còn lại.
Q2 (Tứ phân vị thứ hai): Chính là trung vị (M).
Q3 (Tứ phân vị thứ ba): Chia 75% dữ liệu nhỏ nhất với 25% dữ liệu còn lại.

Cách tính tứ phân vị cho mẫu số liệu ghép nhóm: Tương tự như tính trung vị, ta sử dụng công thức tương tự, thay đổi N/2 thành N/4 (cho Q1) và 3N/4 (cho Q3).

4. Ý nghĩa của Trung vị và Tứ phân vị

Trung vị và tứ phân vị cung cấp thông tin quan trọng về sự phân bố của dữ liệu:

Trung vị: Cho biết giá trị điển hình của dữ liệu.
Q1 và Q3: Cho biết khoảng giá trị chứa 50% dữ liệu giữa.
Khoảng tứ phân vị (IQR = Q3 - Q1): Đo lường mức độ phân tán của dữ liệu.

5. Bài tập minh họa

Bài tập: Cho bảng số liệu sau:

Điểm	Số học sinh
[5, 7)	5
[7, 9)	10
[9, 11)	15
[11, 13)	8
[13, 15)	2

Hãy tính trung vị và các tứ phân vị của bảng số liệu trên.

Lời giải: (Hướng dẫn giải chi tiết sẽ được cung cấp tại tusach.vn)

Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về Lý thuyết Trung vị và Tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm - SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo. Hãy truy cập tusach.vn để xem thêm nhiều tài liệu học tập hữu ích khác!