Lý Thuyết Cấp Số Nhân - SGK Toán 11 Cánh Diều: Tổng Quan và Ứng Dụng
Cấp số nhân là một dãy số đặc biệt, trong đó mỗi số hạng sau được tạo thành bằng cách nhân số hạng trước đó với một số không đổi, gọi là công bội. Đây là một khái niệm nền tảng trong toán học, có nhiều ứng dụng trong thực tế như tính lãi kép, mô tả sự tăng trưởng dân số, và phân tích các hiện tượng tự nhiên.
1. Định Nghĩa Cấp Số Nhân
Một dãy số (un) được gọi là cấp số nhân nếu có một số q ≠ 0 sao cho:
- un+1 = q.un với mọi n ≥ 1
Số q được gọi là công bội của cấp số nhân. Số hạng đầu tiên của cấp số nhân là u1.
2. Các Dạng Cấp Số Nhân
- Cấp số nhân tăng: Khi q > 0 và u1 > 0.
- Cấp số nhân giảm: Khi 0 < q < 1 và u1 > 0.
- Cấp số nhân âm: Khi q < 0.
3. Công Thức Tổng Quát của Cấp Số Nhân
Số hạng thứ n của cấp số nhân được tính theo công thức:
un = u1.qn-1
Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân:
- Nếu q = 1: Sn = n.u1
- Nếu q ≠ 1: Sn = u1.(1 - qn) / (1 - q)
4. Các Bài Toán Thường Gặp và Cách Giải
Bài toán 1: Tìm số hạng thứ n của cấp số nhân.
Để giải bài toán này, bạn cần xác định u1 và q, sau đó áp dụng công thức un = u1.qn-1.
Bài toán 2: Tìm công bội của cấp số nhân.
Sử dụng công thức un+1 = q.un để tìm q.
Bài toán 3: Tính tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
Xác định u1, q và n, sau đó áp dụng công thức tính Sn.
5. Ứng Dụng của Cấp Số Nhân trong Thực Tế
Lãi kép: Tính số tiền lãi sau một khoảng thời gian nhất định khi tiền lãi được cộng vào vốn gốc.
Sự tăng trưởng dân số: Mô tả sự tăng trưởng dân số theo một tỷ lệ nhất định.
Phân rã phóng xạ: Mô tả sự phân rã của các chất phóng xạ.
6. Bài Tập Vận Dụng (SGK Toán 11 Cánh Diều)
SGK Toán 11 Cánh Diều cung cấp nhiều bài tập vận dụng lý thuyết cấp số nhân vào các tình huống thực tế. Hãy làm các bài tập này để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Ví dụ: Tìm số hạng thứ 5 của cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 2 và công bội q = 3.
Giải:
u5 = u1.q5-1 = 2.34 = 2.81 = 162
Tusach.vn hy vọng với những kiến thức và hướng dẫn trên, bạn sẽ nắm vững Lý thuyết Cấp số nhân - SGK Toán 11 Cánh Diều và tự tin giải các bài tập liên quan. Chúc bạn học tập tốt!
